Чтобы найти количество вершин в полном графе с 210 ребрами, воспользуемся формулой для количества рёбер в полном графе:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где (E) — количество рёбер, а (n) — количество вершин.
В нашем случае (E = 210). Подставим это значение в формулу:
[
210 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:
[
420 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 420 = 0
]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант (D) рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где (a = 1), (b = -1), (c = -420).
Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681
]
Теперь найдём корни уравнения по формуле:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1681}}{2}
]
Посчитаем корень из 1681:
[
\sqrt{1681} = 41
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
n = \frac{1 \pm 41}{2}
]
У нас есть два возможных значения для (n):
- (n = \frac{1 + 41}{2} = \frac{42}{2} = 21)
- (n = \frac{1 - 41}{2} = \frac{-40}{2} = -20) (это значение не имеет физического смысла, так как количество вершин не может быть отрицательным).
Таким образом, количество вершин в полном графе, содержащем 210 рёбер, равно:
[
\boxed{21}
]
