В серии из 9 испытаний бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность менее 3 успехов. результаты округлите до тысячных.
Для решения задачи о находении вероятности менее 3 успехов в серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = 0,4 \), мы будем использовать формулу вероятности для распределения Бернулли.
1. **Понять задачу**: Мы ищем вероятность получить менее 3 успехов, то есть 0, 1 или 2 успеха.
2. **Формула распределения**:
Вероятность получения \( k \) успехов из \( n \) испытаний при вероятности успеха \( p \) описывается формулой:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
3. **Параметры задачи**:
- \( n = 9 \) (количество испытаний),
- \( p = 0,4 \) (вероятность успеха),
- \( (1 - p) = 0,6 \) (вероятность неуспеха).
4. **Находим вероятность для \( k = 0, 1, 2 \)**:
- **Для \( k = 0 \)**:
\[
P(X = 0) = C(9, 0) \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^9 = 1 \cdot 1 \cdot 0,000010616 = 0,000010616
\]
- **Для \( k = 1 \)**:
\[
P(X = 1) = C(9, 1) \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^8 = 9 \cdot 0,4 \cdot 0,00007776 = 0,000280576
\]
- **Для \( k = 2 \)**:
\[
P(X = 2) = C(9, 2) \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^7 = 36 \cdot 0,16 \cdot 0,00046656 = 0,002679584
\]
5. **Находим общую вероятность**:
Теперь сложим вероятности для 0, 1 и 2 успехов:
\[
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]
Подставляем найденные значения:
\[
P(X < 3) = 0,000010616 + 0,000280576 + 0,002679584 = 0,002970776
\]
6. **Округляем до тысячных**:
Округляем итоговое значение до тысячных:
\[
P(X < 3) \approx 0,003
\]
Таким образом, вероятность менее 3 успехов в серии из 9 испытаний с вероятностью успеха \( p = 0,4 \) составляет приблизительно **0,003**.
