Игральный кубик бросают пять раз. найдите вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 3 раза. ответ округлите до тысячных.
Для решения этой задачи нас интересует вероятность того, что при 5 бросках игрального кубика число "6" выпадет ровно 3 раза. Это задача, которая может быть решена с применением распределения Бернулли (или биномиального распределения).
Шаг 1: Определим параметры задачи
- Общее число испытаний (n): 5 (бросков кубика)
- Число успехов (k): 3 (раз, когда выпадает 6)
- Вероятность успеха в одном испытании (p): 1/6 (так как на игральном кубике 6 сторон и только одна из них – "6")
- Вероятность неуспеха (q): 5/6 (вероятность, что выпадет не 6)
Шаг 2: Формула для биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет ровно k раз из n попыток, можно рассчитать по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Шаг 3: Подставим данные в формулу
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(5, 3) \):
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
- Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-3} \]
- Подсчитаем:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
Теперь посчитаем \( \left(\frac{1}{6}\right)^3 \) и \( \left(\frac{5}{6}\right)^2 \):
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \]
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \]
Шаг 4: Перемножим все вместе
Теперь подставим численные значения обратно в формулу:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} \]
Выполним умножение:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{25}{7776} = \frac{250}{7776} \]
Шаг 5: Упрощение результата и округление
Теперь давайте упростим дробь:
\[ P(X = 3) = \frac{250}{7776} \approx 0.03215 \]
Округление до тысячных:
\[ P(X = 3) \approx 0.032 \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 3 раза, составляет приблизительно 0.032 (округлено до тысячных).
