Найдите первый член геометрической прогрессии{ bn} если ,b4=192,a b7=12288
Чтобы решить задачу и найти первый член геометрической прогрессии, давайте разберёмся с тем, что такое геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \( q \)). Первый член прогрессии обозначаем как \( b_1 \).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Из условия задачи нам известны следующие члены ГП:
- \( b_4 = 192 \)
- \( b_7 = 12288 \)
Теперь подставим эти значения в формулу:
Для \( b_4 \): \[ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 192 \quad \text{(1)} \]
Для \( b_7 \): \[ b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 12288 \quad \text{(2)} \]
Теперь имеем систему из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти \( b_1 \) и \( q \), выразим \( q^3 \) из первого уравнения:
Из (1) получаем: \[ b_1 = \frac{192}{q^3} \]
Теперь подставим это значение \( b_1 \) во второе уравнение (2): \[ 12288 = \left(\frac{192}{q^3}\right) \cdot q^6 \]
Упростим: \[ 12288 = \frac{192 \cdot q^6}{q^3} = 192 \cdot q^3 \]
Теперь решим для \( q^3 \): \[ q^3 = \frac{12288}{192} \]
Выполним деление: \[ q^3 = 64 \]
Теперь извлечем кубический корень: \[ q = 4 \]
Теперь, зная значение \( q \), вернемся к уравнению (1) и найдем \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{192}{4^3} = \frac{192}{64} = 3 \]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( b_1 = 3 \).
Ответ: Первый член геометрической прогрессии \( b_1 = 3 \).
