Чтобы решить задачу и найти первый член геометрической прогрессии, давайте разберёмся с тем, что такое геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как ( q )). Первый член прогрессии обозначаем как ( b_1 ).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Из условия задачи нам известны следующие члены ГП:
- ( b_4 = 192 )
- ( b_7 = 12288 )
Теперь подставим эти значения в формулу:
Для ( b_4 ):
[
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 192 \quad \text{(1)}
]
Для ( b_7 ):
[
b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 12288 \quad \text{(2)}
]
Теперь имеем систему из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти ( b_1 ) и ( q ), выразим ( q^3 ) из первого уравнения:
Из (1) получаем:
[
b_1 = \frac{192}{q^3}
]
Теперь подставим это значение ( b_1 ) во второе уравнение (2):
[
12288 = \left(\frac{192}{q^3}\right) \cdot q^6
]
Упростим:
[
12288 = \frac{192 \cdot q^6}{q^3} = 192 \cdot q^3
]
Теперь решим для ( q^3 ):
[
q^3 = \frac{12288}{192}
]
Выполним деление:
[
q^3 = 64
]
Теперь извлечем кубический корень:
[
q = 4
]
Теперь, зная значение ( q ), вернемся к уравнению (1) и найдем ( b_1 ):
[
b_1 = \frac{192}{4^3} = \frac{192}{64} = 3
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии ( b_1 = 3 ).
Ответ: Первый член геометрической прогрессии ( b_1 = 3 ).
