Чему равно ускорение свободного падения в точке, удалённой от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли?
Ускорение свободного падения \( g \) можно вычислить с помощью закона всемирного тяготения и формулы для гравитационного поля тела. Ученые установили, что ускорение свободного падения можно выразить следующей формулой:
\[ g = \frac{GM}{r^2} \]
где:
- \( G \) — гравитационная постоянная (\( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \));
- \( M \) — масса Земли (\( 5.97 \times 10^{24} \, \text{кг} \));
- \( r \) — расстояние от центра Земли до точки, где мы измеряем ускорение свободного падения.
Шаг 1: Определим параметры
- Радиус Земли \( R \) примерно равен \( 6.4 \times 10^6 \, \text{м} \).
- Расстояние от поверхности Земли на расстоянии радиуса Земли будет равно \( R + R = 2R \) (то есть два радиуса Земли от центра Земли).
Шаг 2: Найдем \( g \) на расстоянии \( 2R \)
Теперь подставим \( r = 2R \) в формулу для \( g \):
\[ g = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} \]
Шаг 3: Определим ускорение в точке на высоте \( R \)
Ускорение свободного падения на поверхности Земли:
\[ g_{\text{поверхность}} = \frac{GM}{R^2} \]
Шаг 4: Сравнение
Теперь выразим \( g \) на высоте \( R \) в терминах \( g_{\text{поверхность}} \):
\[ g = \frac{GM}{4R^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{GM}{R^2} = \frac{1}{4} g_{\text{поверхность}} \]
Шаг 5: Численное значение
Поскольку ускорение свободного падения на поверхности Земли примерно равно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \):
\[ g = \frac{1}{4} \cdot 9.81 \approx 2.45 \, \text{м/с}^2 \]
Вывод
Таким образом, ускорение свободного падения в точке, удалённой от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли, составляет примерно \( 2.45 \, \text{м/с}^2 \).
