Полный граф обозначается как ( K_n ), где ( n ) — это количество вершин в графе. В полном графе каждую пару вершин соединяет ребро. Поэтому количество рёбер ( E ) в полном графе можно вычислить с помощью формулы:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
В нашей задаче количество рёбер ( E ) равно 378. Подставим это значение в формулу и найдем количество вершин ( n ):
[
378 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Для удобства умножим обе стороны уравнения на 2:
[
756 = n(n-1)
]
Теперь разложим уравнение:
[
n(n-1) - 756 = 0
]
Это квадратное уравнение формата ( n^2 - n - 756 = 0 ). Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае:
- ( a = 1 )
- ( b = -1 )
- ( c = -756 )
Теперь подставим эти значения в формулу:
- Вычисляем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-756) = 1 + 3024 = 3025
]
- Находим корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55
]
- Теперь подставляем дискриминант обратно в формулу для нахождения ( n ):
[
n = \frac{-(-1) \pm 55}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 55}{2}
]
Это даёт нам два возможных решения:
- ( n = \frac{1 + 55}{2} = \frac{56}{2} = 28 )
- ( n = \frac{1 - 55}{2} = \frac{-54}{2} = -27 ) (это решение не подходит, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин ( n ) в полном графе, в котором 378 рёбер, равно:
[
\boxed{28}
]
