Постройте график функции y = -x^2 + 4

Давайте разберем, как построить график функции \( y = -x^2 + 4 \).

Шаг 1: Определим вид функции

Данная функция является квадратичной (полиномиальной) и может быть представлена в общем виде:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

где \( a = -1 \), \( b = 0 \), \( c = 4 \). Поскольку коэффициент \( a \) отрицательный, график будет иметь форму параболы, направленной вниз.

Шаг 2: Найдем вершину параболы

Вершина параболы (максимальная точка для данной функции) находится по формуле:

\[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \]

Подставляем наши значения:

\[ x_{vertex} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0 \]

Теперь найдем значение функции в этой точке:

\[ y_{vertex} = -x_{vertex}^2 + 4 = -0^2 + 4 = 4 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (0, 4) \).

Шаг 3: Найдем пересечения с осью y

Пересечение графика с осью y происходит, когда \( x = 0 \):

\[ y = -0^2 + 4 = 4 \]

Мы уже нашли эту точку, она равна \( (0, 4) \).

Шаг 4: Найдем пересечения с осью x

Чтобы найти, где график пересекает ось x, нужно решить уравнение:

\[ 0 = -x^2 + 4 \]

Перепишем его:

\[ x^2 = 4 \implies x = \pm2 \]

То есть, график пересекает ось x в точках \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \).

Шаг 5: Определим дополнительные точки

Для более точного графика можно выбрать несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие \( y \):

• \( x = -3 \): \[ y = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 \quad \text{(точка (-3, -5))} \]
• \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \quad \text{(точка (-1, 3))} \]
• \( x = 1 \): \[ y = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \quad \text{(точка (1, 3))} \]
• \( x = 3 \): \[ y = -(3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 \quad \text{(точка (3, -5))} \]

Шаг 6: Построение графика

Теперь у нас есть достаточное количество точек:

• Вершина: \( (0, 4) \)
• Пересечения с осью x: \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \)
• Дополнительные точки: \( (-3, -5) \), \( (-1, 3) \), \( (1, 3) \), и \( (3, -5) \)

Мы можем изобразить эти точки на координатной плоскости и соединить их, чтобы получить параболу, направленную вниз.

Заключение

График функции \( y = -x^2 + 4 \) — это парабола, вершина которой находится в точке \( (0, 4) \), и она пересекает ось x в точках \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \). График будет симметричен относительно оси y.