Постройте график функции y = -x^2 + 4

Давайте разберем, как построить график функции \( y = -x^2 + 4 \). ### Шаг 1: Определим вид функции Данная функция является квадратичной (полиномиальной) и может быть представлена в общем виде: \[ y = ax^2 + bx + c \] где \( a = -1 \), \( b = 0 \), \( c = 4 \). Поскольку коэффициент \( a \) отрицательный, график будет иметь форму параболы, направленной вниз. ### Шаг 2: Найдем вершину параболы Вершина параболы (максимальная точка для данной функции) находится по формуле: \[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \] Подставляем наши значения: \[ x_{vertex} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0 \] Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ y_{vertex} = -x_{vertex}^2 + 4 = -0^2 + 4 = 4 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (0, 4) \). ### Шаг 3: Найдем пересечения с осью y Пересечение графика с осью y происходит, когда \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 4 = 4 \] Мы уже нашли эту точку, она равна \( (0, 4) \). ### Шаг 4: Найдем пересечения с осью x Чтобы найти, где график пересекает ось x, нужно решить уравнение: \[ 0 = -x^2 + 4 \] Перепишем его: \[ x^2 = 4 \implies x = \pm2 \] То есть, график пересекает ось x в точках \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \). ### Шаг 5: Определим дополнительные точки Для более точного графика можно выбрать несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие \( y \): - \( x = -3 \): \[ y = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 \quad \text{(точка (-3, -5))} \] - \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \quad \text{(точка (-1, 3))} \] - \( x = 1 \): \[ y = -(1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \quad \text{(точка (1, 3))} \] - \( x = 3 \): \[ y = -(3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 \quad \text{(точка (3, -5))} \] ### Шаг 6: Построение графика Теперь у нас есть достаточное количество точек: - Вершина: \( (0, 4) \) - Пересечения с осью x: \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \) - Дополнительные точки: \( (-3, -5) \), \( (-1, 3) \), \( (1, 3) \), и \( (3, -5) \) Мы можем изобразить эти точки на координатной плоскости и соединить их, чтобы получить параболу, направленную вниз. ### Заключение График функции \( y = -x^2 + 4 \) — это парабола, вершина которой находится в точке \( (0, 4) \), и она пересекает ось x в точках \( (2, 0) \) и \( (-2, 0) \). График будет симметричен относительно оси y.