Решение

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника \(ABCD\), нам сначала нужно записать координаты его вершин:

• \(A(9; 5)\)
• \(B(10; -2)\)
• \(C(-3; -1)\)
• \(D(5; -3)\)

Диагонали четырёхугольника: \(AC\) и \(BD\).

1. Уравнение диагонали \(AC\):

Найдем уравнение, используя точки \(A\) и \(C\).

Формула уравнения прямой через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):

\[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \]

Для \(AC\):

• \((x_1, y_1) = (9, 5)\)
• \((x_2, y_2) = (-3, -1)\)

\[ y - 5 = \frac{-1 - 5}{-3 - 9}(x - 9) \] \[ y - 5 = \frac{-6}{-12}(x - 9) \] \[ y - 5 = \frac{1}{2}(x - 9) \] \[ y - 5 = \frac{1}{2}x - \frac{9}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x - \frac{9}{2} + \frac{10}{2} \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \]

2. Уравнение диагонали \(BD\):

Аналогично для \(B\) и \(D\).

• \((x_1, y_1) = (10, -2)\)
• \((x_2, y_2) = (5, -3)\)

\[ y + 2 = \frac{-3 + 2}{5 - 10}(x - 10) \] \[ y + 2 = \frac{-1}{-5}(x - 10) \] \[ y + 2 = \frac{1}{5}(x - 10) \] \[ y + 2 = \frac{1}{5}x - 2 \] \[ y = \frac{1}{5}x - 4 \]

3. Найдём точку пересечения:

\[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{5}x - 4 \]

Умножим уравнение на 10 для удобства:

\[ 5x + 5 = 2x - 40 \]

Переносим \(2x\) и 5 в одну сторону:

\[ 5x - 2x = -40 - 5 \] \[ 3x = -45 \] \[ x = -15 \]

Подставляем \(x = -15\) в одно из уравнений, например, в \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\):

\[ y = \frac{1}{2}(-15) + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{15}{2} + \frac{1}{2} \] \[ y = -\frac{14}{2} \] \[ y = -7 \]

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей: \((-15; -7)\).