Для решения задачи о движении тела, падающего с высоты, можно использовать закон сохранения механической энергии или уравнение движения. В данном случае мы воспользуемся уравнением движения и законом сохранения энергии, чтобы понять, как изменяется скорость тела.
Дано:
- Начальная высота ((h_1)) = 30 м
- Конечная высота ((h_2)) = 15 м
- Начальная скорость ((v_1)) = 10 м/с (вниз)
- Ускорение свободного падения ((g)) = 10 м/с²
Найти:
Скорость тела ((v_2)) на высоте 15 м.
Шаг 1: Используем закон сохранения энергии.
Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия в начале равна полной механической энергии в конце, так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха:
[
E_1 = E_2
]
Где:
- (E_1) — полная энергия в начале (с высоты 30 м),
- (E_2) — полная энергия в конце (на высоте 15 м).
Полная механическая энергия ((E)) состоит из потенциальной энергии ((E_p)) и кинетической энергии ((E_k)):
[
E = E_p + E_k
]
Шаг 2: Рассчитаем начальную энергию.
Потенциальная энергия на высоте 30 м:
[
E_{p1} = mgh_1 = m \cdot 10 \cdot 30 = 300m
]
Кинетическая энергия при начальной скорости 10 м/с:
[
E_{k1} = \frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{1}{2} m \cdot (10)^2 = 50m
]
Таким образом, полная энергия в начале:
[
E_1 = E_{p1} + E_{k1} = 300m + 50m = 350m
]
Шаг 3: Рассчитаем конечную энергию.
Потенциальная энергия на высоте 15 м:
[
E_{p2} = mgh_2 = m \cdot 10 \cdot 15 = 150m
]
Кинетическая энергия в конечный момент времени:
Обозначим конечную скорость ((v_2)) как неизвестную:
[
E_{k2} = \frac{1}{2} mv_2^2
]
Полная энергия в конце:
[
E_2 = E_{p2} + E_{k2} = 150m + \frac{1}{2} mv_2^2
]
Шаг 4: Составим уравнение равенства энергий.
Приравниваем полные энергии:
[
350m = 150m + \frac{1}{2} mv_2^2
]
Шаг 5: Упростим уравнение.
Сократим на (m) (массa не влияет на итог):
[
350 = 150 + \frac{1}{2} v_2^2
]
Переносим 150 влево:
[
350 - 150 = \frac{1}{2} v_2^2
]
[
200 = \frac{1}{2} v_2^2
]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления:
[
400 = v_2^2
]
Шаг 6: Найдем скорость (v_2).
Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:
[
v_2 = \sqrt{400} = 20 \text{ м/с}
]
Ответ:
Скорость тела, когда оно будет на высоте 15 м, составляет 20 м/с.
