в шахмотном турнире некоторые игроки сыграли по 5 партий , а некоторые по 6. докажите что число игроков сыгравших 5 партий , четное
Для решения задачи воспользуемся методом анализа через счёт.
Обозначим:
- \( n_5 \) — количество игроков, сыгравших 5 партий,
- \( n_6 \) — количество игроков, сыгравших 6 партий.
Теперь вычислим общее количество сыгранных партий в турнире.
Каждый игрок, сыгравший 5 партий, внесет 5 партий, а каждый игрок, сыгравший 6 партий, внесет 6 партий. Таким образом, общее количество сыгранных партий \( P \) можно выразить в виде:
\[ P = 5n_5 + 6n_6 \]
Заметим, что количество сыгранных партий \( P \) должно быть четным, поскольку каждая партия играет с участием двух игроков (т.е. 1 партия включает 2 игрока).
Теперь разложим \( P \) на два слагаемых:
\[ P = 5n_5 + 6n_6 = 5n_5 + 2(3n_6) \]
Здесь \( 6n_6 = 2 \cdot 3n_6 \) покрывает четную часть. Обратите внимание, что \( 5n_5 \) — это нечетное число, если \( n_5 \) — нечетное, и четное число, если \( n_5 \) — четное.
Таким образом, вся сумма \( P \) равна:
\[ P = 5n_5 + 6n_6 \]
Теперь рассмотрим два случая:
Если \( n_5 \) четное:
- Тогда \( 5n_5 \) будет четным (помните, что любая четная величина, умноженная на нечетное число, остается четной). Следовательно, \( P \) будет четным.
Если \( n_5 \) нечетное:
- Тогда \( 5n_5 \) будет нечетным. И поскольку \( 6n_6 \) четное, сумма \( P \) будет нечетной, что противоречит тому факту, что общее количество сыгранных партий \( P \) должно быть четным.
Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о том, что \( n_5 \) может быть нечетным, неверно.
Таким образом, число игроков, сыгравших 5 партий, действительно должно быть четным. Этот вывод заверяет, что:
\[ n_5 \equiv 0 \mod{2} \]
То есть \( n_5 \) четное. Мы доказали, что число игроков, сыгравших 5 партий, всегда будет четным.
