4. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С греугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах.

Для нахождения угла \( \angle AOS \) воспользуемся следующими свойствами треугольников и их углов.

Дано, что внешний угол при вершине \( B \) равен \( 102° \). Внутренний углы треугольника \( A \) и \( C \) можно найти, используя свойство внешнего угла:

\[ \angle ABC = \angle A + \angle C \]

Так как внешний угол равен сумме двух внутренних, то:

\[ \angle A + \angle C = 102° \]

Далее, обозначим \( \angle A = a \) и \( \angle C = c \). Тогда:

\[ a + c = 102° \]

Сумма углов треугольника равна \( 180° \):

\[ a + b + c = 180° \]

где \( b = \angle B \). Подставим \( a + c = 102° \) в это уравнение:

\[ 102° + b = 180° \]

Теперь решим его:

\[ b = 180° - 102° = 78° \]

Теперь мы знаем все углы:

\[ \angle A = a, \quad \angle B = 78°, \quad \angle C = c \]

Следующим шагом является определение угла \( \angle AOS \). Угол \( \angle AOS \) между биссектрисами \( AO \) и \( CO \) можно выразить через углы \( A \) и \( C \) следующим образом:

\[ \angle AOS = \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) \]

Подставим известные значения:

\[ \angle AOS = \frac{1}{2}(a + c) = \frac{1}{2}(102°) = 51° \]

Таким образом, величина угла \( AOS \) равна \( 51° \).