И

Давайте разберем задачи из изображенного задания по геометрии с подробными объяснениями.

Задача 1:

Условие: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а угол, лежащий напротив него, равен 30°. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике угол в 30° напротив катета означает, что этот катет равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза \(c\) в два раза больше катета, то есть \(c = 12\).

2. Чтобы найти площадь треугольника, используем формулу площади \(S\) для прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] где \(a = 6\) (дан катет) и \(b\) - другой катет.

3. Чтобы найти второй катет \(b\), используем тригонометрическую функцию \(\sin(30°) = 0.5\), что равно отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Следовательно, второй катет может быть найден как корень из разности квадратов гипотенузы и первого катета: \[ b = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 3\sqrt{12} \]

4. Так как \(b = c \times \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\).

5. Подставим найденные значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \]

Ответ: Площадь треугольника равна \(18\sqrt{3}\).

Задача 3:

Условие: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение:

1. Используем теорему Пифагора, которая гласит: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \(c = 13\) (гипотенуза), \(a = 12\), и \(b\) - неизвестный катет.

2. Подставляем известные значения: \[ 13^2 = 12^2 + b^2 \] \[ 169 = 144 + b^2 \]

3. Выразим \(b^2\): \[ b^2 = 169 - 144 = 25 \]

4. Найдем \(b\) путем извлечения корня: \[ b = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: Второй катет равен 5.

Эти решения помогут понять, как использовать тригонометрические функции и теорему Пифагора для решения задач на треугольники.