исследовать плоское напряженное состояние. найти главные напряжения и направления главных площадок. данные g(х)=80МПа, g(y)=80МПа, t(xy)=70МПа. со схемой.

Чтобы решить задачу на определение главных напряжений и направлений главных площадок в плоском напряженном состоянии, используем метод, основанный на теории механики деформируемого тела.

Дано:

• Напряжения по осям:
  • \( \sigma_x = 80 \, \text{МПа} \) (нормальное напряжение в направлении x)
  • \( \sigma_y = 80 \, \text{МПа} \) (нормальное напряжение в направлении y)
  • \( \tau_{xy} = 70 \, \text{МПа} \) (сдвиговое напряжение)

Цель:

Найти главные напряжения (\( \sigma_1 \) и \( \sigma_2 \)) и направления главных площадок.

Решение:

1. Основная формула для нахождения главных напряжений: Главные напряжения находятся по формуле: \[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

2. Вычислим среднее значение нормальных напряжений: \[ \sigma_{avg} = \frac{80 + 80}{2} = 80 \, \text{МПа} \]

3. Вычислим разность нормальных напряжений и ее квадрат: \[ \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{80 - 80}{2} = 0 \] \[ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 = 0^2 = 0 \]

4. Вычислим квадрат сдвигового напряжения: \[ \tau_{xy}^2 = (70 \, \text{МПа})^2 = 4900 \, \text{МПа}^2 \]

5. Подставим в формулу для главных напряжений: \[ \sigma_{1,2} = 80 \pm \sqrt{0 + 4900} \] \[ \sigma_{1,2} = 80 \pm \sqrt{4900} \approx 80 \pm 70 \]

6. Вычислим главные напряжения:

   • \( \sigma_1 = 80 + 70 = 150 \, \text{МПа} \)
   • \( \sigma_2 = 80 - 70 = 10 \, \text{МПа} \)

Результат:

Главные напряжения:

• \( \sigma_1 = 150 \, \text{МПа} \) (максимальное)
• \( \sigma_2 = 10 \, \text{МПа} \) (минимальное)

7. Определение направлений главных площадок: Углы главных площадок \(\theta_p\) можно найти с помощью следующей формулы: \[ \tan(2\theta_p) = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} \] Подставляем значения: \[ \tan(2\theta_p) = \frac{2 \cdot 70}{80 - 80} = \frac{140}{0} \] Это указывает на то, что \(\theta_p = 45^\circ\) (или 135°), в зависимости от направления.

Итоговая схема:

1. Вы можете нарисовать координатную схему, где:
   • Ось x представляет \( \sigma_x \)
   • Ось y представляет \( \sigma_y \)
   • Углы \( 45^\circ \) обозначают главные площадки, через угол выполнения:

y |
  |
  |       / 
  |      |   (σ1)
  |     /
  |    /
  |---/--------x
  |  /
  | / 
  |/
(σ2)

Вывод:

Мы нашли главные напряжения и направления главных площадок. Главные напряжения составляют \( 150 \, \text{МПа} \) и \( 10 \, \text{МПа} \). Направления главных площадок находятся под углом \( 45^\circ \) к осям координат.