В прямоугольном треугольнике MNK с гипотенузой NK провели высоту MP и биссектрису ML . Найди величину угла PML , если ∠MNK=38∘. Ответ дай в градусах

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения известных и искомых элементов.

1. Данности:

   • В прямоугольном треугольнике \( \triangle MNK \) угол \( \angle MNK = 38^\circ \).
   • \( M \) — вершина прямого угла, \( N \) и \( K \) — основания прямого угла, где \( NK \) — гипотенуза.

2. Что нужно найти:

   • Нам нужно найти величину угла \( \angle PML \), где \( P \) — основание высоты, проведенной из вершины \( M \) к гипотенузе \( NK \), а \( L \) — точка на стороне \( MN \), созданная биссектрисой \( ML \).

3. Изображение углов:

   • Угол, образованный биссектрисой \( ML \) и отрезком \( MP \) можно обозначить как \( \angle PML \).

4. Свойства углов:

   • В прямом треугольнике сумма углов \( \angle MNK + \angle MKN + \angle NKM = 180^\circ \). Поскольку \( \angle M = 90^\circ \), тогда: \[ \angle MKN + \angle NKM = 90^\circ \]
   • Обозначим \( \angle MKN = x \), тогда \( \angle NKM = 90^\circ - x \).

5. Углы биссектрисы:

   • Биссектрисы делят угол пополам. То есть, углы, образуемые биссектрисой, равны: \[ \angle MNL = \frac{1}{2} \angle MKN = \frac{x}{2} \] \[ \angle MLK = \frac{1}{2} \angle NKM = \frac{90^\circ - x}{2} \]

6. Рассмотрим треугольник \( MLP \):

   • В треугольнике \( MLP \) сумма углов также равна 180 градусам: \[ \angle PML + \angle MLK + \angle MLP = 180^\circ \]
   • Поскольку \( \angle MLK = \frac{90^\circ - x}{2} \) и \( \angle MLP \) - это угол прямого треугольника, равный углу \( \angle MKN \) или \( x \): \[ \angle PML + \frac{90^\circ - x}{2} + x = 180^\circ \]

7. Подставим известные значения:

   • Подставляем \( x = 38^\circ \): \[ \angle PML + \frac{90^\circ - 38^\circ}{2} + 38^\circ = 180^\circ \]
   • Упрощаем: \[ \angle PML + \frac{52^\circ}{2} + 38^\circ = 180^\circ \] \[ \angle PML + 26^\circ + 38^\circ = 180^\circ \] \[ \angle PML + 64^\circ = 180^\circ \] \[ \angle PML = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ \]

Таким образом, величина угла \( PML \) равна \( 116^\circ \).