Две одинаковых металлических дробинки массой по m = 4 , 5 m=4,5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L L . Когда каждому шарику сообщили количество…
Две одинаковых металлических дробинки массой по m = 4 , 5 m=4,5 г каждая находятся в одной точке подвеса на тонких ниточках длиной L L. Когда каждому шарику сообщили количество электронов, равное N e = 1 0 12 N e =10 12 , они разошлись, и нити образовали угол α = α= 9 0 ∘ 90 ∘ . Какова длина каждой ниточки L L? Запиши в поле ответа верное число, округлив его до целого. см
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Кулона и уравнение равновесия.
Сначала рассчитаем силу отталкивания между двумя заряженными дробинками. Сила Кулона рассчитывается по формуле:
\[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
где \( k \) — коэффициент Кулона (\( k \approx 8.99 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)), \( q \) — заряд на каждой дробинке, \( r \) — расстояние между ними.
Количество электронов, \( N_e = 10^{12} \), и заряд одного электрона \( e = 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл} \), дает заряд на каждой дробинке:
\[ q = N_e \cdot e = 10^{12} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \approx 1.6 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл} \]
Теперь подставим это значение в формулу для силы Кулона:
\[ F = k \cdot \frac{q^2}{r^2} = 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{r^2} \]
Теперь нам нужно определить \( r \). В данном случае, при угле \( \alpha = 90^\circ \), расстояние между дробинками будет равно \( r = 2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2L \sin(45^\circ) = 2L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = L\sqrt{2} \).
Теперь подставим \( r \) в уравнение:
\[ F = k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{(L\sqrt{2})^2} = k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2} \]
Сила, действующая на дробинки вниз, равна весу:
\[ F_{weight} = m \cdot g = 4.5 \cdot 10^{-3} \cdot 9.81 \approx 0.044145 \, \text{Н} \]
При равновесии сил \( F = F_{weight} \):
\[ k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145 \]
Теперь подставляем значения:
\[ 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145 \]
Решая это уравнение, найдем \( L \):
\[ L^2 = \frac{8.99 \cdot 10^9 \cdot (2.56 \cdot 10^{-14})}{0.044145} \]
\[ L^2 \approx \frac{2.300944 \cdot 10^{-4}}{0.044145} \approx 5.21 \cdot 10^{-3} \Rightarrow L \approx 0.0722 \, \text{м} \Rightarrow L \approx 72.2 \, \text{см} \]
Окончательный ответ: \( L \approx 72 \, \text{см} \).
