Для решения данной задачи необходимо использовать закон Кулона и уравнение равновесия.
Сначала рассчитаем силу отталкивания между двумя заряженными дробинками. Сила Кулона рассчитывается по формуле:
[
F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}
]
где ( k ) — коэффициент Кулона (( k \approx 8.99 \cdot 10^9 , \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 )), ( q ) — заряд на каждой дробинке, ( r ) — расстояние между ними.
Количество электронов, ( N_e = 10^{12} ), и заряд одного электрона ( e = 1.6 \cdot 10^{-19} , \text{Кл} ), дает заряд на каждой дробинке:
[
q = N_e \cdot e = 10^{12} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \approx 1.6 \cdot 10^{-7} , \text{Кл}
]
Теперь подставим это значение в формулу для силы Кулона:
[
F = k \cdot \frac{q^2}{r^2} = 8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{r^2}
]
Теперь нам нужно определить ( r ). В данном случае, при угле ( \alpha = 90^\circ ), расстояние между дробинками будет равно ( r = 2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2L \sin(45^\circ) = 2L \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = L\sqrt{2} ).
Теперь подставим ( r ) в уравнение:
[
F = k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{(L\sqrt{2})^2} = k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2}
]
Сила, действующая на дробинки вниз, равна весу:
[
F_{weight} = m \cdot g = 4.5 \cdot 10^{-3} \cdot 9.81 \approx 0.044145 , \text{Н}
]
При равновесии сил ( F = F_{weight} ):
[
k \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145
]
Теперь подставляем значения:
[
8.99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-7})^2}{2L^2} = 0.044145
]
Решая это уравнение, найдем ( L ):
[
L^2 = \frac{8.99 \cdot 10^9 \cdot (2.56 \cdot 10^{-14})}{0.044145}
]
[
L^2 \approx \frac{2.300944 \cdot 10^{-4}}{0.044145} \approx 5.21 \cdot 10^{-3} \Rightarrow L \approx 0.0722 , \text{м} \Rightarrow L \approx 72.2 , \text{см}
]
Окончательный ответ: ( L \approx 72 , \text{см} ).
