Задача 5
Давайте разберем решение задачи 5, которое нужно выполнить.
Даны две системы векторов в пространстве \( \mathbb{R}^3 \):
- Первая система: \( \mathbf{a}_1 = (1, 2, 1), \mathbf{a}_2 = (2, 1, 3), \mathbf{a}_3 = (1, 1, 2) \)
- Вторая система: \( \mathbf{b}_1 = (0, 1, 1), \mathbf{b}_2 = (1, 0, 1), \mathbf{b}_3 = (1, 1, 0) \)
Нужно определить, какая из этих систем образует базис, и записать вектор из этой системы.
Шаг 1: Проверка на линейную независимость
Базис пространства состоит из линейно независимых векторов. Мы будем проверять это, используя определитель матрицы, составленной из векторов. Если определитель отличается от нуля, система линейно независима и образует базис.
Первая система \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \):
Создаем матрицу:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Теперь найдем определитель \( \det(A) \):
\[ \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \]
\[ = 1 \cdot (2 - 3) - 2 \cdot (4 - 3) + 1 \cdot (2 - 1) \]
\[ = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 - 2 + 1 = -2 \]
Так как определитель не равен нулю, система \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \) линейно независима и образует базис.
Вторая система \( \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \):
Создаем матрицу:
\[ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Найдем определитель \( \det(B) \):
\[ \det(B) = 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \]
\[ = 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \]
\[ = 0 + 1 - 1 = 0 \]
Так как определитель равен нулю, система \( \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3 \) линейно зависима и не образует базис.
Ответ
Первая система векторов \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \) образует базис в \( \mathbb{R}^3 \). Вектор, который можно записать из этой системы, будет один из данных: \( \mathbf{a}_1 = (1, 2, 1) \), \( \mathbf{a}_2 = (2, 1, 3) \), \( \mathbf{a}_3 = (1, 1, 2) \).
