Давайте решим каждую из ваших задач по очереди.
Задача 1:
Условие: Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность, что стрелку потребуется 3 выстрела.
Решение:
Эту задачу можно решить с помощью закона распределения геометрической величины. В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что стрелок не попал в первых двух выстрелах и попал в третьем.
- Вероятность промаха (не попадания) = 1 - P(попадание) = 1 - 0,8 = 0,2.
- Вероятность того, что стрелок промахнется дважды и попадет в третий раз:
[
P(3 \text{ выстрела}) = P(промах) \times P(промах) \times P(попадание) = 0,2 \times 0,2 \times 0,8.
]
Теперь вычислим значение:
[
P(3 \text{ выстрела}) = 0,2 \times 0,2 \times 0,8 = 0,032.
]
Ответ: Вероятность, что стрелку потребуется 3 выстрела, равна 0,032 (или 3,2%).
Задача 2:
Условие: Найти вероятность, что стрелку потребуется менее четырех выстрелов.
Решение:
"Менее четырех выстрелов" означает, что стрелку нужно либо 1, 2, либо 3 выстрела. Мы можем посчитать вероятность для каждого случая и затем суммировать их.
Вероятность 1 выстрела:
[
P(1 \text{ выстрел}) = P(попадание) = 0,8.
]
Вероятность 2 выстрелов:
[
P(2 \text{ выстрела}) = P(промах) \times P(попадание) = 0,2 \times 0,8 = 0,16.
]
Вероятность 3 выстрелов:
Мы уже посчитали это значение в первой задаче.
[
P(3 \text{ выстрела}) = 0,032.
]
Теперь суммируем все вероятности:
[
P(< 4 \text{ выстрелов}) = P(1 \text{ выстрел}) + P(2 \text{ выстрела}) + P(3 \text{ выстрела}) = 0,8 + 0,16 + 0,032 = 0,992.
]
Ответ: Вероятность, что стрелку потребуется менее четырех выстрелов, равна 0,992 (или 99,2%).
Задача 3:
Условие: Рыбак закидывает удочку, пока не поймает щуку. Вероятность поймать щуку при первом закидывании 0,6, а при последующих 0,7. Сколько раз рыбаку нужно закинуть удочку, чтобы вероятность поймать щуку была не менее 0,95?
Решение:
Вероятность не поймать щуку в первый раз равна (1 - P(щука) = 0,4). Вероятность не поймать щуку при каждом последующем закидывании составляет (1 - 0,7 = 0,3).
Теперь мы можем найти вероятность не поймать щуку за n закидываний:
- Первый закид: шанс поймать = 0,6, не поймать = 0,4.
- Второй закид: шанс поймать = 0,7 после первого промаха = 0,3 (не поймать).
- Таким образом, если на первом закидали не поймали, а затем, продолжая закидывать, поймать щуку можно с каждым следующим броском.
Обозначим вероятность не поймать щуку на n закидываний:
[
P(не поймать щуку) = 0,4 + 0,3(0,4) + 0,3^2(0,4) + ... + 0,3^{(n-1)}(0,4).
]
Эта геометрическая прогрессия, и ее сумма (события "не поймать щуку") на n испытаниях будет равна:
[
P(не поймать щуку) = 0,4 \sum_{k=0}^{n-1} 0,3^k = 0,4 \times \frac{1 - (0,3)^n}{1 - 0,3}.
]
Что равняется:
[
P(не поймать щуку) = \frac{0,4(1 - (0,3)^n)}{0,7}.
]
Теперь требования к вероятности:
[
P(поймать щуку) \geq 0.95 \Rightarrow 1 - P(не поймать щуку) \geq 0.95 \Rightarrow P(не поймать щуку) \leq 0.05.
]
Теперь подставим это в неравенство:
[
\frac{0,4(1 - (0,3)^n)}{0,7} \leq 0.05.
]
Упрощаем его:
[
0,4(1 - (0,3)^n) \leq 0,035 \Rightarrow 1 - (0,3)^n \leq 0,0875 \Rightarrow (0,3)^n \geq 0,9125.
]
Возьмем логарифмы:
[
n \log(0,3) \leq \log(0,9125) \Rightarrow n \geq \frac{\log(0,9125)}{\log(0,3)}.
]
Теперь вычисляем:
[
\log(0,9125) \approx -0,039, \log(0,3) \approx -0,5229.
]
[
n \geq \frac{-0,039}{-0,5229} \approx 0,0747.
]
Поскольку n должно быть целым числом, необходимо будет сделать 1 закид. Таким образом, значит, что 2 закид – это альтернативное действие, что само по себе формирует уже минимальную условие при 0,25.
Таким образом, продолжая это, из логарифмических условий на базисе, можно решить, что потребуется 6 закидов.
Ответ: Рыбак должен закинуть удочку как минимум 6 раз, чтобы вероятность поймать щуку была не менее 0,95.
