Сколько существует чисел, семеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом?

Для решения задачи определим условия и шаги, которые необходимо выполнить.

Шаг 1: Понять структуру семеричной системы счисления.

Семеричная система счисления использует цифры от 0 до 6. Таким образом, доступные цифры - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Среди них четные - 0, 2, 4, 6 и нечетные - 1, 3, 5.

Шаг 2: Найти количество четных и нечетных цифр.

• Четные: 0, 2, 4, 6 (всего 4 четные цифры)
• Нечетные: 1, 3, 5 (всего 3 нечетные цифры)

Шаг 3: Рассмотреть варианты расстановки цифр.

В условии сказано, что цифры не могут стоять рядом две четные и две нечетные, это значит, что для 5-значного числа, мы можем использовать две схемы размещения:

1. Четная - Нечетная - Четная - Нечетная - Четная (Схема 1)
2. Нечетная - Четная - Нечетная - Четная - Нечетная (Схема 2)

Мы проанализируем каждую схему.

Схема 1 (ЧНЧНЧ):

1. Первую цифру (четную) можно выбрать из 4 доступных четных цифр (0, 2, 4, 6). Однако, первая цифра в числе не может быть 0 (не может быть ведущей цифрой), поэтому для этой позиции у нас 3 варианта (2, 4, 6).
2. Для второй позиции (нечетной) выбираем любую из 3 нечетных цифр. Количество вариантов - 3.
3. Для третьей позиции (четной) мы можем взять оставшиеся 3 четные цифры (включая 0, если он еще не был использован). Количество вариантов - 3.
4. Для четвёртой позиции (нечетной) выбираем из оставшихся 2 нечетных цифр. Количество вариантов - 2.
5. Для пятой позиции (четной) у нас остается 2 четные цифры. Количество вариантов - 2.

Количество способов для этой схемы: \[ 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 108 \]

Схема 2 (НЧНЧН):

1. Первую цифру (нечетную) можно выбрать из 3 доступных нечетных цифр (1, 3, 5). Количество вариантов - 3.
2. Для второй позиции (четной) выбираем одну из 4 четных цифр. Количество вариантов - 4.
3. Для третьей позиции (нечетной) у нас остаются 2 нечетные цифры. Количество вариантов - 2.
4. Для четвёртой позиции (четной) выбираем оставшиеся 3 четные цифры. Количество вариантов - 3.
5. Для пятой позиции (нечетной) у нас остается 1 нечетная цифра. Количество вариантов - 1.

Количество способов для этой схемы: \[ 3 \times 4 \times 2 \times 3 \times 1 = 72 \]

Шаг 4: Подсчитать общее количество способов.

Теперь сложим количество способов из обеих схем: \[ 108 + 72 = 180 \]

Таким образом, существует 180 чисел, семеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.