Давайте подробно рассмотрим каждое из приведенных утверждений, используя свойства неравенств и основные правила алгебры.
Утверждение 1:
Если ( a < b ), ( c ) — любое число, то ( ac < bc ).
Разбор:
- Если ( a < b ), это означает, что ( b - a > 0 ).
- Если ( c > 0 ):
- Умножая обе стороны неравенства ( a < b ) на положительное число ( c ), мы сохраняем направление неравенства. То есть, ( ac < bc ) верно.
- Если ( c = 0 ):
- Тогда ( ac = 0 ) и ( bc = 0 ). Здесь ( ac = bc ), и неравенство не выполняется.
- Если ( c < 0 ):
- Умножая обе стороны на отрицательное число, мы меняем направление неравенства. То есть, вместо ( ac < bc ) получится ( ac > bc ).
Вывод: Это утверждение неверно в общем случае, так как оно не выполняется, если ( c ) либо 0, либо отрицательное число.
Утверждение 2:
Если ( a < b ), ( c ) — любое число, то ( a + c > b + c ).
Разбор:
- Если ( a < b ), добавляя к обеим частям равенства одно и то же число ( c ), мы сохраняем направление неравенства. То есть, получится ( a + c < b + c ).
- Таким образом, общее неравенство остается тем же после добавления ( c ).
Вывод: Это утверждение неверно. Правильная форма: если ( a < b ), то ( a + c < b + c ).
Утверждение 3:
Если ( a ) и ( b ) — положительные числа и ( a < b ), то ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ).
Разбор:
- Если ( a < b ) и оба числа положительные, то ( b - a > 0 ).
- Умножив обе стороны неравенства на ( ab ) (положительное число, так как ( a, b > 0 )), мы получаем ( b > a ) и ( b(a - b) < 0 ).
- Тогда
[
\frac{1}{a} = \frac{b}{ab} > \frac{1}{b} = \frac{a}{ab}
]
- Следовательно, это верно, так как большее значение ( b ) (числитель) даст меньший результат после деления.
Вывод: Это утверждение верно.
Итог
Из трех утверждений только третье является верным:
- Утверждение 1: неверно.
- Утверждение 2: неверно.
- Утверждение 3: верно.
