Какое утверждение верно? Если a < b , a<b, c c — любое число, то a c < b c ac<bc Если a < b , a<b, c c — любое число, то a + c > b + c a+c>b+c Если a a и b b — положительные числа…
Какое утверждение верно? Если a < b , a b + c a+c>b+c Если a a и b b — положительные числа и a < b , a 1 b a 1 > b 1
Давайте подробно рассмотрим каждое из приведенных утверждений, используя свойства неравенств и основные правила алгебры.
Утверждение 1:
Если \( a < b \), \( c \) — любое число, то \( ac < bc \).
Разбор:
- Если \( a < b \), это означает, что \( b - a > 0 \).
- Если \( c > 0 \):
- Умножая обе стороны неравенства \( a < b \) на положительное число \( c \), мы сохраняем направление неравенства. То есть, \( ac < bc \) верно.
- Если \( c = 0 \):
- Тогда \( ac = 0 \) и \( bc = 0 \). Здесь \( ac = bc \), и неравенство не выполняется.
- Если \( c < 0 \):
- Умножая обе стороны на отрицательное число, мы меняем направление неравенства. То есть, вместо \( ac < bc \) получится \( ac > bc \).
Вывод: Это утверждение неверно в общем случае, так как оно не выполняется, если \( c \) либо 0, либо отрицательное число.
Утверждение 2:
Если \( a < b \), \( c \) — любое число, то \( a + c > b + c \).
Разбор:
- Если \( a < b \), добавляя к обеим частям равенства одно и то же число \( c \), мы сохраняем направление неравенства. То есть, получится \( a + c < b + c \).
- Таким образом, общее неравенство остается тем же после добавления \( c \).
Вывод: Это утверждение неверно. Правильная форма: если \( a < b \), то \( a + c < b + c \).
Утверждение 3:
Если \( a \) и \( b \) — положительные числа и \( a < b \), то \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \).
Разбор:
- Если \( a < b \) и оба числа положительные, то \( b - a > 0 \).
- Умножив обе стороны неравенства на \( ab \) (положительное число, так как \( a, b > 0 \)), мы получаем \( b > a \) и \( b(a - b) < 0 \).
- Тогда
\[ \frac{1}{a} = \frac{b}{ab} > \frac{1}{b} = \frac{a}{ab} \]
- Следовательно, это верно, так как большее значение \( b \) (числитель) даст меньший результат после деления.
Вывод: Это утверждение верно.
Итог
Из трех утверждений только третье является верным:
- Утверждение 1: неверно.
- Утверждение 2: неверно.
- Утверждение 3: верно.
