В амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько всего…

Для решения этой задачи начнём с определения количества мест в каждом ряду амфитеатра.

1. Дано:

   • Третий ряд: 12 мест
   • Шестой ряд: 24 места
   • Всего рядов: 15

2. Обозначим:

   • Пусть количество мест в первом ряду равно \( x \).
   • Пусть количество добавляемых мест в каждом следующем ряду равно \( d \).

3. Запишем уравнения:

   • Для третьего ряда:
     \[ x + 2d = 12 \quad (1) \]
   • Для шестого ряда:
     \[ x + 5d = 24 \quad (2) \]

4. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2) для нахождения \( d \): \[ (x + 5d) - (x + 2d) = 24 - 12 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \]

5. Подставим \( d \) в уравнение (1) для нахождения \( x \): \[ x + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ x + 8 = 12 \] \[ x = 4 \]

6. Теперь мы знаем, что:

   • Количество мест в первом ряду ( \( x \) ) равно 4.
   • Количество добавляемых мест в каждом следующем ряду ( \( d \) ) равно 4.

7. Найдем количество мест в любом ряду:
   Количество мест в \( n \)-ом ряду можно выразить формулой: \[ m_n = x + (n-1)d \]

8. Теперь посчитаем количество мест в каждом ряду:

   • В 1-м ряду:
     \[ m_1 = 4 \]
   • В 2-м ряду:
     \[ m_2 = 4 + 4 = 8 \]
   • В 3-м ряду:
     \[ m_3 = 12 \]
   • В 4-м ряду:
     \[ m_4 = 4 + 3 \cdot 4 = 16 \]
   • В 5-м ряду:
     \[ m_5 = 4 + 4 \cdot 4 = 20 \]
   • В 6-м ряду:
     \[ m_6 = 24 \]
   • В 7-м ряду:
     \[ m_7 = 28 \]
   • В 8-м ряду:
     \[ m_8 = 32 \]
   • В 9-м ряду:
     \[ m_9 = 36 \]
   • В 10-м ряду:
     \[ m_{10} = 40 \]
   • В 11-м ряду:
     \[ m_{11} = 44 \]
   • В 12-м ряду:
     \[ m_{12} = 48 \]
   • В 13-м ряду:
     \[ m_{13} = 52 \]
   • В 14-м ряду:
     \[ m_{14} = 56 \]
   • В 15-м ряду:
     \[ m_{15} = 60 \]

9. Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре: \[ \text{Общее количество мест} = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7 + m_8 + m_9 + m_{10} + m_{11} + m_{12} + m_{13} + m_{14} + m_{15} \] \[ = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \]

10. Посчитаем сумму:
    Мы можем заметить, что это арифметическая прогрессия, где:

• Первый член \( a = 4 \)
• Последний член \( l = 60 \)
• Количество членов \( n = 15 \)

Формула для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) = \frac{15}{2} (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 480.