В амфитеатре  15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду  12 12 мест, а в шестом ряду  24 24 места. Сколько всего мест в амфитеатре?

Для решения этой задачи начнём с определения количества мест в каждом ряду амфитеатра. 1. **Дано:** - Третий ряд: 12 мест - Шестой ряд: 24 места - Всего рядов: 15 2. **Обозначим:** - Пусть количество мест в первом ряду равно \( x \). - Пусть количество добавляемых мест в каждом следующем ряду равно \( d \). 3. **Запишем уравнения:** - Для третьего ряда: \[ x + 2d = 12 \quad (1) \] - Для шестого ряда: \[ x + 5d = 24 \quad (2) \] 4. **Вычтем уравнение (1) из уравнения (2)** для нахождения \( d \): \[ (x + 5d) - (x + 2d) = 24 - 12 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \] 5. **Подставим \( d \) в уравнение (1)** для нахождения \( x \): \[ x + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ x + 8 = 12 \] \[ x = 4 \] 6. **Теперь мы знаем, что:** - Количество мест в первом ряду ( \( x \) ) равно 4. - Количество добавляемых мест в каждом следующем ряду ( \( d \) ) равно 4. 7. **Найдем количество мест в любом ряду:** Количество мест в \( n \)-ом ряду можно выразить формулой: \[ m_n = x + (n-1)d \] 8. **Теперь посчитаем количество мест в каждом ряду:** - В 1-м ряду: \[ m_1 = 4 \] - В 2-м ряду: \[ m_2 = 4 + 4 = 8 \] - В 3-м ряду: \[ m_3 = 12 \] - В 4-м ряду: \[ m_4 = 4 + 3 \cdot 4 = 16 \] - В 5-м ряду: \[ m_5 = 4 + 4 \cdot 4 = 20 \] - В 6-м ряду: \[ m_6 = 24 \] - В 7-м ряду: \[ m_7 = 28 \] - В 8-м ряду: \[ m_8 = 32 \] - В 9-м ряду: \[ m_9 = 36 \] - В 10-м ряду: \[ m_{10} = 40 \] - В 11-м ряду: \[ m_{11} = 44 \] - В 12-м ряду: \[ m_{12} = 48 \] - В 13-м ряду: \[ m_{13} = 52 \] - В 14-м ряду: \[ m_{14} = 56 \] - В 15-м ряду: \[ m_{15} = 60 \] 9. **Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре:** \[ \text{Общее количество мест} = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5 + m_6 + m_7 + m_8 + m_9 + m_{10} + m_{11} + m_{12} + m_{13} + m_{14} + m_{15} \] \[ = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \] 10. **Посчитаем сумму:** Мы можем заметить, что это арифметическая прогрессия, где: - Первый член \( a = 4 \) - Последний член \( l = 60 \) - Количество членов \( n = 15 \) Формула для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a + l) = \frac{15}{2} (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \] Таким образом, **общее количество мест в амфитеатре** составляет **480**.