Реши систему уравнений

Чтобы решить данную систему уравнений: 1. **Записать систему уравнений:** \[ \begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases} \] 2. **Решить первое уравнение:** Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\): \[ x = y + \frac{5\pi}{3} \] 3. **Подставить во второе уравнение:** Подставляем выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ \sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right) = 2 \sin y \] 4. **Использовать формулу для суммы аргументов:** Формула синуса суммы: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\). Применим её к \(\sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right)\): \[ \sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right) = \sin y \cdot \cos\frac{5\pi}{3} + \cos y \cdot \sin\frac{5\pi}{3} \] Учитывая, что \(\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \sin y \cdot \frac{1}{2} - \cos y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sin y \] 5. **Упростить и найти возможные значения:** Упростим уравнение: \[ \frac{1}{2} \sin y - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = 2 \sin y \] \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = \frac{3}{2} \sin y \] Разделим обе части на \(\cos y\) (при условии \(\cos y \neq 0\)): \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \tan y \] \[ \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Решаем уравнение для \(y\): \[ y = \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + k\pi \] Учитывая, что \(\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\), получаем: \[ y = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] 6. **Найти соответствующие значения \(x\):** Подставив значения \(y\) обратно в выражение для \(x\), получаем: \[ x = \left(-\frac{\pi}{6} + k\pi\right) + \frac{5\pi}{3} \] \[ x = \frac{9\pi}{6} + k\pi = \frac{3\pi}{2} + k\pi \] 7. **Ответ:** Система уравнений имеет решения: \[ \begin{cases} x = \frac{3\pi}{2} + k\pi \\ y = -\frac{\pi}{6} + k\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z} \]