Реши систему уравнений

Чтобы решить данную систему уравнений:

1. Записать систему уравнений:

   \[ \begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases} \]

2. Решить первое уравнение:

   Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\):

   \[ x = y + \frac{5\pi}{3} \]

3. Подставить во второе уравнение:

   Подставляем выражение для \(x\) во второе уравнение:

   \[ \sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right) = 2 \sin y \]

4. Использовать формулу для суммы аргументов:

   Формула синуса суммы: \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).

   Применим её к \(\sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right)\):

   \[ \sin\left(y + \frac{5\pi}{3}\right) = \sin y \cdot \cos\frac{5\pi}{3} + \cos y \cdot \sin\frac{5\pi}{3} \]

   Учитывая, что \(\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\):

   \[ \sin y \cdot \frac{1}{2} - \cos y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sin y \]

5. Упростить и найти возможные значения:

   Упростим уравнение:

   \[ \frac{1}{2} \sin y - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = 2 \sin y \]

   \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = \frac{3}{2} \sin y \]

   Разделим обе части на \(\cos y\) (при условии \(\cos y \neq 0\)):

   \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \tan y \]

   \[ \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

   Решаем уравнение для \(y\):

   \[ y = \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + k\pi \]

   Учитывая, что \(\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\), получаем:

   \[ y = -\frac{\pi}{6} + k\pi \]

6. Найти соответствующие значения \(x\):

   Подставив значения \(y\) обратно в выражение для \(x\), получаем:

   \[ x = \left(-\frac{\pi}{6} + k\pi\right) + \frac{5\pi}{3} \]

   \[ x = \frac{9\pi}{6} + k\pi = \frac{3\pi}{2} + k\pi \]

7. Ответ:

   Система уравнений имеет решения:

   \[ \begin{cases} x = \frac{3\pi}{2} + k\pi \\ y = -\frac{\pi}{6} + k\pi \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z} \]