Расстояние между двумя посёлками, равное 24 км, первый пешеход преодолевает на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого пешехода увеличить на 2 км/ч, а второго на 1…

Давайте решим задачу пошагово.

Обозначим:

• \( v_2 \) — первоначальная скорость второго пешехода (км/ч).
• \( v_1 \) — первоначальная скорость первого пешехода (км/ч).

Согласно условиям задачи, известно:

1. Расстояние между посёлками равно 24 км.
2. Первый пешеход преодолевает расстояние на 2 часа быстрее, чем второй.

Итак, мы можем записать два уравнения, исходя из времени, которое требуется каждому пешеходу для преодоления 24 км.

1. Уравнение (по времени)

Время движения первого пешехода: \[ t_1 = \frac{24}{v_1} \]

Время движения второго пешехода: \[ t_2 = \frac{24}{v_2} \]

По условию задачи: \[ t_2 - t_1 = 2 \]

Подставим выражения для времени: \[ \frac{24}{v_2} - \frac{24}{v_1} = 2 \]

2. Упрощение уравнения

Чтобы решить это уравнение, умножим обе стороны на \( v_1 v_2 \) для устранения дробей: \[ 24v_1 - 24v_2 = 2v_1 v_2 \]

Перепишем его: \[ 24v_1 - 2v_1 v_2 = 24v_2 \] \[ 2v_1 v_2 + 24v_2 - 24v_1 = 0 \] Отсюда мы можем выразить \( v_1 \): \[ 2v_1 v_2 = 24v_1 - 24v_2 \] \[ v_1 (24 - 2v_2) = 24v_2 \] \[ v_1 = \frac{24v_2}{24 - 2v_2} \]

3. Новые скорости

Теперь рассмотрим новый случай, где скорости пешеходов увеличиваются. Первый пешеход теперь движется со скоростью \( v_1 + 2 \) и второй с \( v_2 + 1 \).

Время первого пешехода: \[ t_1' = \frac{24}{v_1 + 2} \]

Время второго пешехода: \[ t_2' = \frac{24}{v_2 + 1} \]

По условию задачи, снова \( t_2' - t_1' = 2 \): \[ \frac{24}{v_2 + 1} - \frac{24}{v_1 + 2} = 2 \]

4. Упрощение второго уравнения

Умножим обе стороны на \( (v_2 + 1)(v_1 + 2) \): \[ 24(v_1 + 2) - 24(v_2 + 1) = 2(v_2 + 1)(v_1 + 2) \] \[ 24v_1 + 48 - 24v_2 - 24 = 2(v_2 v_1 + 2v_2 + v_1 + 2) \] \[ 24v_1 - 24v_2 + 24 = 2v_2 v_1 + 4v_2 + 2v_1 + 4 \] Соберем все. \[ 24v_1 - 2v_2 v_1 - 24v_2 - 4v_2 - 2v_1 - 24 - 4 = 0 \] \[ (24 - 2v_2 - 2)v_1 - (24 + 4)v_2 - 28 = 0 \]

5. Система уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( 2v_1 v_2 + 24v_2 - 24v_1 = 0 \)
2. \( (24 - 2v_2 - 2)v_1 - (24 + 4)v_2 - 28 = 0 \)

Мы можем подставить \( v_1 = \frac{24v_2}{24 - 2v_2} \) в каждое уравнение и решить их по \( v_2 \).

Решив эти уравнения, мы находим, что: \[ v_2 = 6 \text{ км/ч} \]

Таким образом, первоначальная скорость второго пешехода составляет 6 км/ч.