Найти производные функции одной переменной

Для решения задач находить производные, нужно применить правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило частного и производные элементарных функций. Давайте решим каждую из данных задач. ### 54. Найти производные: a) \( y = \sqrt{a^2 + x^2} \) Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции: 1. Представим \( y = (a^2 + x^2)^{1/2} \). 2. Производная по \( x \) будет: \[ y' = \frac{1}{2} (a^2 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \] б) \( y = \sin^{-1} x - \cos^2 x \) Используем производные арксинуса и косинуса: 1. Производная \( \sin^{-1} x \) равна \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \). 2. Производная \( -\cos^2 x \) равна \( -2\cos x (-\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x) \). Итак, суммарная производная: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sin(2x) \] в) \( y = \ln|\sqrt{x^2 + 7}| \) При дифференцировании логарифмической функции: 1. Производная логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot u'\). 2. Здесь \( u = \sqrt{x^2 + 7} \); производная \( u \) равна \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}\). Итак, производная: \[ y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 7}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}} = \frac{x}{x^2 + 7} \] г) \( y = (\arctan x)^2 \) При дифференцировании применим правило сложной функции: 1. Внутреннюю функцию обозначим \( u = \arctan x \). 2. Производная внешней функции \( u^2 \) равна \( 2u \cdot u' \). Производная функции: \[ y' = 2(\arctan x) \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2\arctan x}{1+x^2} \] ### 55. Найти производные: a) \( y = \frac{\sqrt{1-2x}}{x} \) Применим правило дифференцирования частного: 1. Пусть \( u = \sqrt{1-2x} \) и \( v = x \). 2. Производная будет: \[ y' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \] Где: - \( u' = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} \cdot 2 = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} \) - \( v' = 1 \) Поэтому: \[ y' = \frac{x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} - \sqrt{1-2x} \cdot 1}{x^2} = \frac{-x - \sqrt{1-2x}}{x^2\sqrt{1-2x}} \] б) \( y = \cos 2x \cdot (1 + 2\sin^2 x) \) Применим правило произведения: 1. Обозначим \( u = \cos 2x \) и \( v = 1 + 2\sin^2 x \). 2. Тогда \( u' = -2 \sin 2x \), \( v' = 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x) \). Производная: \[ y' = u'v + uv' = (-2 \sin 2x)(1 + 2\sin^2 x) + (\cos 2x)(2 \sin 2x) \] в) \( y = \ln|\ln(\sqrt{6x})| \) Используем дифференцирование сложных функций: 1. \( u = \ln(\sqrt{6x}) \), тогда \( u' = \frac{1}{\sqrt{6x}} \cdot \frac{3}{\sqrt{6x}} = \frac{3}{6x} = \frac{1}{2x} \). 2. Произодная общего логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln |u| = \frac{1}{u} \cdot u'\). Производная: \[ y' = \frac{1}{\ln(\sqrt{6x})} \cdot \frac{1}{2x} \] г) \( y = (e^{x^2 - 1})^3 \) Используем правило сложной функции: 1. Обозначим внутреннюю функцию \( v = e^{x^2 - 1} \), и внешнюю функцию \( u = v^3 \). 2. Тогда \( u' = 3v^2 \cdot v' \). 3. Известно: \( v' = e^{x^2 - 1} \cdot 2x = 2x e^{x^2 - 1} \). Производная: \[ y' = 3(e^{x^2 - 1})^2 (2x e^{x^2 - 1}) = 6x e^{3(x^2 - 1)} \] Если будут ещё вопросы по этим задачам или другие задачи, я готов помочь!