Найти производные функции одной переменной

Для решения задач находить производные, нужно применить правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило частного и производные элементарных функций. Давайте решим каждую из данных задач.

54. Найти производные:

a) \( y = \sqrt{a^2 + x^2} \)

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции:

1. Представим \( y = (a^2 + x^2)^{1/2} \).
2. Производная по \( x \) будет:

\[ y' = \frac{1}{2} (a^2 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \]

б) \( y = \sin^{-1} x - \cos^2 x \)

Используем производные арксинуса и косинуса:

1. Производная \( \sin^{-1} x \) равна \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \).
2. Производная \( -\cos^2 x \) равна \( -2\cos x (-\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x) \).

Итак, суммарная производная:

\[ y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sin(2x) \]

в) \( y = \ln|\sqrt{x^2 + 7}| \)

При дифференцировании логарифмической функции:

1. Производная логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot u'\).
2. Здесь \( u = \sqrt{x^2 + 7} \); производная \( u \) равна \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}}\).

Итак, производная:

\[ y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 7}} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 7}} = \frac{x}{x^2 + 7} \]

г) \( y = (\arctan x)^2 \)

При дифференцировании применим правило сложной функции:

1. Внутреннюю функцию обозначим \( u = \arctan x \).
2. Производная внешней функции \( u^2 \) равна \( 2u \cdot u' \).

Производная функции:

\[ y' = 2(\arctan x) \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2\arctan x}{1+x^2} \]

55. Найти производные:

a) \( y = \frac{\sqrt{1-2x}}{x} \)

Применим правило дифференцирования частного:

1. Пусть \( u = \sqrt{1-2x} \) и \( v = x \).
2. Производная будет:

\[ y' = \frac{v u' - u v'}{v^2} \]

Где:

• \( u' = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} \cdot 2 = \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} \)
• \( v' = 1 \)

Поэтому:

\[ y' = \frac{x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-2x}} - \sqrt{1-2x} \cdot 1}{x^2} = \frac{-x - \sqrt{1-2x}}{x^2\sqrt{1-2x}} \]

б) \( y = \cos 2x \cdot (1 + 2\sin^2 x) \)

Применим правило произведения:

1. Обозначим \( u = \cos 2x \) и \( v = 1 + 2\sin^2 x \).
2. Тогда \( u' = -2 \sin 2x \), \( v' = 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x) \).

Производная:

\[ y' = u'v + uv' = (-2 \sin 2x)(1 + 2\sin^2 x) + (\cos 2x)(2 \sin 2x) \]

в) \( y = \ln|\ln(\sqrt{6x})| \)

Используем дифференцирование сложных функций:

1. \( u = \ln(\sqrt{6x}) \), тогда \( u' = \frac{1}{\sqrt{6x}} \cdot \frac{3}{\sqrt{6x}} = \frac{3}{6x} = \frac{1}{2x} \).
2. Произодная общего логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln |u| = \frac{1}{u} \cdot u'\).

Производная:

\[ y' = \frac{1}{\ln(\sqrt{6x})} \cdot \frac{1}{2x} \]

г) \( y = (e^{x^2 - 1})^3 \)

Используем правило сложной функции:

1. Обозначим внутреннюю функцию \( v = e^{x^2 - 1} \), и внешнюю функцию \( u = v^3 \).
2. Тогда \( u' = 3v^2 \cdot v' \).
3. Известно: \( v' = e^{x^2 - 1} \cdot 2x = 2x e^{x^2 - 1} \).

Производная:

\[ y' = 3(e^{x^2 - 1})^2 (2x e^{x^2 - 1}) = 6x e^{3(x^2 - 1)} \]

Если будут ещё вопросы по этим задачам или другие задачи, я готов помочь!