Докажите что если последовательность bn геометрическая прогрессия то b2*b20=b1*b11

Давайте докажем, что если последовательность \( b_n \) является геометрической прогрессией, то выполняется равенство \( b_2 \cdot b_{20} = b_1 \cdot b_{11} \). ### Определение геометрической прогрессии Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим первый член геометрической прогрессии как \( b_1 \), а знаменатель — как \( q \) (где \( q \) — это константа). Тогда, по определению геометрической прогрессии, члены последовательности можно записать как: - \( b_1 = b_1 \) - \( b_2 = b_1 \cdot q \) - \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \) - \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \) - \( \ldots \) - \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \) ### Нахождение нужных членов Теперь мы можем выразить необходимые члены последовательности в терминах \( b_1 \) и \( q \): - \( b_2 = b_1 \cdot q \) - \( b_{20} = b_1 \cdot q^{19} \) - \( b_{11} = b_1 \cdot q^{10} \) ### Подставляем в равенство Теперь подставим значения этих членов в равенство: \[ b_2 \cdot b_{20} = (b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^{19}) = b_1^2 \cdot q^{20} \] \[ b_1 \cdot b_{11} = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{10}) = b_1^2 \cdot q^{10} \] Теперь мы имеем: \[ b_2 \cdot b_{20} = b_1^2 \cdot q^{20} \] \[ b_1 \cdot b_{11} = b_1^2 \cdot q^{10} \] ### Сравниваем Для доказательства равенства \( b_2 \cdot b_{20} = b_1 \cdot b_{11} \), нужно показать: \[ b_1^2 \cdot q^{20} = b_1^2 \cdot q^{10} \] Если \( b_1 \neq 0 \), можем разделить обе стороны на \( b_1^2 \): \[ q^{20} = q^{10} \] ### Условия равенства Это равенство верно, если: - \( q^{20 - 10} = q^{10} = 1 \) или - \( q = 0 \) (что делает геометрическую прогрессию тривиальной). ### Заключение Таким образом, мы доказали равенство \( b_2 \cdot b_{20} = b_1 \cdot b_{11} \) для ненулевой геометрической прогрессии. Если \( q = 1 \), то все члены последовательности равны, и равенство выполняется тривиально. Это завершает доказательство.