1. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 1 см. Развёртка поверхности правильной треугольной пирамиды…

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, сначала нужно понять, что это за фигура и как она устроена.

Шаг 1: Определение размеров основания

Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника. В данном случае сторона основания равна 6 см.

Шаг 2: Вычисление высоты основания

Для нахождения площади боковой поверхности нам также понадобится высота боковой грани. Сначала находим высоту основания треугольника:

• Высота равностороннего треугольника рассчитывается по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] где \( a \) — длина стороны треугольника. Подставим значения: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 3: Определение высоты боковой грани

Теперь давайте найдём высоту боковой грани. Это треугольник с основанием, равным стороне основания (6 см), и высотой, равной высоте от вершины пирамиды до центра основания. Высота этой боковой грани (из вершины пирамиды до середины стороны треугольника) можно найти по компонентам:

Высота пирамиды (высота от вершины до основания) равна 1 см. Центр основания треугольника находится на расстоянии \( \frac{a}{\sqrt{3}} \) от любой из вершин, где \( a = 6 \): \[ d = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

Таким образом, сторона пирамиды (грань) формирует прямоугольный треугольник, где одна сторона равна высоте пирамиды (1 см), а другая (горизонтальная) равна \( 2\sqrt{3} \text{ см} \). Чтобы найти высоту боковой грани, вычислим гипотенузу: \[ H = \sqrt{(1)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13} \text{ см} \]

Шаг 4: Площадь боковой поверхности

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из 3 равносторонних треугольников (каждая грань) с высотой боковой грани. Площадь одного равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H_{\text{боковая грань}} \] где \( a = 6 \) см, а \( H_{\text{боковая грань}} = \sqrt{13} \).

Подставляем значения: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{13} \text{ см}^2 \]

Теперь умножаем на 3 (так как у нас 3 боковые грани): \[ S_{\text{боковой}} = 3 \cdot 3\sqrt{13} = 9\sqrt{13} \text{ см}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет \( 9\sqrt{13} \text{ см}^2 \).