Из набора домино случайно вытаскивают одну «доминошку», записывают сумму очков на ней, и возвращают ее обратно. Так делают 3 раза. Найдите вероятность того, что дубль появляется…

Чтобы решить задачу о вероятности появления дублирующей «доминошки» ровно один раз при трёх извлечениях, давайте разберемся с концепцией.

Шаг 1: Понимание задачи

В доминошках каждая доминошка представлена в виде пары чисел (x, y), где x и y — это значения очков. Существует 28 возможных доминошек в стандартном наборе домино, которые включают пары от (0, 0) до (6, 6).

Мы извлекаем одну доминошку трижды с возвращением, и нас интересует случай, когда дубль (одна и та же доминошка) появляется ровно один раз.

Шаг 2: Обозначения и анализ

Пусть:

• D - количество всех доминошек (в нашем случае D = 28).
• Мы хотим найти вероятность события, при котором дубль появляется ровно один раз в трёх испытаниях.

Шаг 3: Возможные исходы

Мы можем иметь 3 ситуации в ходе извлечений:

1. Первый раз вытащили дубль (одну доминошку).
2. Второй раз — вытащили другую, не дублирующую доминошку.
3. Третий раз — снова вытащили другую, отличную от первой.

Шаг 4: Подсчёт вероятностей

1. Выбор доминошки для дубля: Сначала мы выбираем одну из 28 доминошек. Вероятность выбрать любую доминошку в первый раз равна 1 (это просто выбор одной из 28).

2. Вероятность того, что второй и третий раз будут разные от первой: После того как мы выбрали дубль, вероятность, что следующая доминошка будет отличной от выбранной дублирующей, составляет: \[ P(\text{не дубль}) = \frac{D - 1}{D} = \frac{27}{28} \] Для третьего извлечения аналогично: \[ P(\text{не дубль}) = \frac{D - 1}{D} = \frac{27}{28} \]

3. Ситуации дубля: Дубль может появиться на любом из трех извлечений — первом, втором или третьем. Это даёт нам три варианта для размещения дублирующей доминошки.

4. Общая вероятность: Общая вероятность того, что дубль появляется ровно один раз:

\[ P(\text{1 дубль, 2 другие}) = 3 \cdot \left(\frac{1}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right) \]

Шаг 5: Вычисление

Теперь подставим значения:

\[ P = 3 \cdot \left(\frac{1}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right)^2 \]

Теперь посчитаем:

• \(\left(\frac{27}{28}\right)^2 = \frac{729}{784}\)
• Полная вероятность: \[ P = 3 \cdot \frac{1}{28} \cdot \frac{729}{784} = \frac{2187}{21952} \]

Шаг 6: Окончательное округление

Теперь делим и округляем до тысячных:

\[ P \approx 0.0995 \text{ (после деления)} \]

После округления до тысячных получаем:

\[ \text{Вероятность} \approx 0.100 \]

Таким образом, вероятность того, что дубль появляется ровно один раз, равна приблизительно 0.100.