Чтобы решить задачу о вероятности появления дублирующей «доминошки» ровно один раз при трёх извлечениях, давайте разберемся с концепцией.
Шаг 1: Понимание задачи
В доминошках каждая доминошка представлена в виде пары чисел (x, y), где x и y — это значения очков. Существует 28 возможных доминошек в стандартном наборе домино, которые включают пары от (0, 0) до (6, 6).
Мы извлекаем одну доминошку трижды с возвращением, и нас интересует случай, когда дубль (одна и та же доминошка) появляется ровно один раз.
Шаг 2: Обозначения и анализ
Пусть:
- D - количество всех доминошек (в нашем случае D = 28).
- Мы хотим найти вероятность события, при котором дубль появляется ровно один раз в трёх испытаниях.
Шаг 3: Возможные исходы
Мы можем иметь 3 ситуации в ходе извлечений:
- Первый раз вытащили дубль (одну доминошку).
- Второй раз — вытащили другую, не дублирующую доминошку.
- Третий раз — снова вытащили другую, отличную от первой.
Шаг 4: Подсчёт вероятностей
Выбор доминошки для дубля: Сначала мы выбираем одну из 28 доминошек. Вероятность выбрать любую доминошку в первый раз равна 1 (это просто выбор одной из 28).
Вероятность того, что второй и третий раз будут разные от первой:
После того как мы выбрали дубль, вероятность, что следующая доминошка будет отличной от выбранной дублирующей, составляет:
[
P(\text{не дубль}) = \frac{D - 1}{D} = \frac{27}{28}
]
Для третьего извлечения аналогично:
[
P(\text{не дубль}) = \frac{D - 1}{D} = \frac{27}{28}
]
Ситуации дубля: Дубль может появиться на любом из трех извлечений — первом, втором или третьем. Это даёт нам три варианта для размещения дублирующей доминошки.
Общая вероятность:
Общая вероятность того, что дубль появляется ровно один раз:
[
P(\text{1 дубль, 2 другие}) = 3 \cdot \left(\frac{1}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right)
]
Шаг 5: Вычисление
Теперь подставим значения:
[
P = 3 \cdot \left(\frac{1}{28}\right) \cdot \left(\frac{27}{28}\right)^2
]
Теперь посчитаем:
- (\left(\frac{27}{28}\right)^2 = \frac{729}{784})
- Полная вероятность:
[
P = 3 \cdot \frac{1}{28} \cdot \frac{729}{784}
= \frac{2187}{21952}
]
Шаг 6: Окончательное округление
Теперь делим и округляем до тысячных:
[
P \approx 0.0995 \text{ (после деления)}
]
После округления до тысячных получаем:
[
\text{Вероятность} \approx 0.100
]
Таким образом, вероятность того, что дубль появляется ровно один раз, равна приблизительно 0.100.
