А числовой прямой даны два отрезка: P = [13, 61] и Q = [29, 78]. Укажите наименьшую возможную длину промежутка А, для которого формула -((x P) = (x Q)) - (х € A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, что именно требуется. У нас есть два отрезка P и Q на числовой прямой: - \( P = [13, 61] \) (от 13 до 61) - \( Q = [29, 78] \) (от 29 до 78) Нам нужно определить наименьшую возможную длину промежутка \( A \), для которого формула \(-((x \in P) = (x \in Q)) - (x \in A)\) всегда истинна, это значит, что данное выражение должно равняться 1 при любом значении переменной \( x \). ### Шаг 1: Понимание выражения Формально, выражение \((x \in P) = (x \in Q)\) будет истинно (равно 1), когда \( x \) либо принадлежит обоим отрезкам \( P \) и \( Q \), либо не принадлежит ни одному из этих отрезков. И может быть ложным, когда \( x \) принадлежит одному отрезку, но не другому. Таким образом, мы находим значение, при котором это условие ложное, чтобы \( A \) было таким промежутком, что все значения \( x \) из него сделают выражение неверным. ### Шаг 2: Найти пересечение P и Q Сначала найдем пересечение отрезков P и Q: - Нижняя граница: максимальное из нижних границ = \( \max(13, 29) = 29 \) - Верхняя граница: минимальное из верхних границ = \( \min(61, 78) = 61 \) Пересечение \( P \cap Q = [29, 61] \). ### Шаг 3: Определение промежутка A Для того чтобы итоговое выражение было истинно (равно 1) для всех \( x \) из промежутка \( A \), \( A \) должен включать все значения, которые находятся между отрезками \( P \) и \( Q \). Поскольку у нас есть пересечение, важно заменить \( A \) числами, которые не попадают под "невозможные" условия (в данном случае это [29, 61]). ### Шаг 4: Подсчёт длины промежутка A Таким образом, промежуток \( A \) должен соответствовать следующим границам, чтобы не было ни одного пересечения с \( P \) и \( Q \): - Левая граница ниже 29: \( [13, 29) \) - Правая граница выше 61: \( (61, 78] \) ### Шаг 5: Вычисление длины A Теперь вычисляем длины: 1. Длина промежутка \( [13, 29) \): - Длина = \( 29 - 13 = 16 \) 2. Длина промежутка \( (61, 78] \): - Длина = \( 78 - 61 = 17 \) ### Шаг 6: Общая длина Теперь складываем обе области: - Общая длина \( A = 16 + 17 = 33 \). ### Ответ Таким образом, наименьшая возможная длина промежутка \( A \), для которого формула \(-((x \in P) = (x \in Q)) - (x \in A)\) тождественно истинна, составляет \( 33 \) единицы.