нации точки экстремума функции y=x+√3-x

Давайте разберемся, как найти точки экстремума функции \( y = x + \sqrt{3 - x} \).

Шаг 1: Найдем производную функции

Чтобы найти точки экстремума, нам нужно найти производную функции и определить, где она равна нулю или не существует.

Функция: \[ y = x + \sqrt{3 - x} \]

Находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (\sqrt{3 - x}) \]

Первая часть производной — это просто \( 1 \).

Теперь найдем производную второй части: \[ \frac{d}{dx} (\sqrt{3 - x}) = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot \frac{d}{dx}(3 - x) = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \]

Следовательно, полная производная: \[ \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \]

Шаг 2: Найдем критические точки

Теперь приравняем производную к нулю: \[ 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0 \]

Решаем уравнение: \[ 1 = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \] \[ 2\sqrt{3 - x} = 1 \] \[ \sqrt{3 - x} = \frac{1}{2} \] Теперь возводим обе стороны в квадрат: \[ 3 - x = \frac{1}{4} \] \[ x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} \]

Таким образом, мы получили одну критическую точку \( x = \frac{11}{4} \).

Шаг 3: Определим тип критической точки

Чтобы узнать, относится ли эта точка к минимуму или максимуму, используем знак производной или вторую производную.

1. Найдем вторую производную: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2\sqrt{3 - x}}\right) \]

Обозначим \( u = 3 - x \), тогда: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(u^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}u^{-3/2}\right)(-1) = \frac{1}{4(3 - x)^{3/2}} \]

Так как \( 3 - x > 0 \) для \( x < 3 \), то вторая производная будет положительной для \( x = \frac{11}{4} \). Это говорит о том, что точка \( x = \frac{11}{4} \) является минимумом.

Шаг 4: Найдем значение функции в этой точке

Теперь подставим \( x = \frac{11}{4} \) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этой точке: \[ y\left(\frac{11}{4}\right) = \frac{11}{4} + \sqrt{3 - \frac{11}{4}} = \frac{11}{4} + \sqrt{\frac{12}{4} - \frac{11}{4}} = \frac{11}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{11}{4} + \frac{1}{2} \] \[ = \frac{11}{4} + \frac{2}{4} = \frac{13}{4} \]

Итог

Таким образом, точка экстремума (минимум) функции \( y = x + \sqrt{3 - x} \) находится в точке \( x = \frac{11}{4} \) и значение функции в этой точке равно \( y = \frac{13}{4} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!