Нации точки экстремума функции y=x+√3-x

Давайте разберемся, как найти точки экстремума функции \( y = x + \sqrt{3 - x} \). ### Шаг 1: Найдем производную функции Чтобы найти точки экстремума, нам нужно найти производную функции и определить, где она равна нулю или не существует. Функция: \[ y = x + \sqrt{3 - x} \] Находим производную: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (\sqrt{3 - x}) \] Первая часть производной — это просто \( 1 \). Теперь найдем производную второй части: \[ \frac{d}{dx} (\sqrt{3 - x}) = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot \frac{d}{dx}(3 - x) = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \] Следовательно, полная производная: \[ \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Теперь приравняем производную к нулю: \[ 1 - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0 \] Решаем уравнение: \[ 1 = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \] \[ 2\sqrt{3 - x} = 1 \] \[ \sqrt{3 - x} = \frac{1}{2} \] Теперь возводим обе стороны в квадрат: \[ 3 - x = \frac{1}{4} \] \[ x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} \] Таким образом, мы получили одну критическую точку \( x = \frac{11}{4} \). ### Шаг 3: Определим тип критической точки Чтобы узнать, относится ли эта точка к минимуму или максимуму, используем знак производной или вторую производную. 1. Найдем вторую производную: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2\sqrt{3 - x}}\right) \] Обозначим \( u = 3 - x \), тогда: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(u^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}u^{-3/2}\right)(-1) = \frac{1}{4(3 - x)^{3/2}} \] Так как \( 3 - x > 0 \) для \( x < 3 \), то вторая производная будет положительной для \( x = \frac{11}{4} \). Это говорит о том, что точка \( x = \frac{11}{4} \) является минимумом. ### Шаг 4: Найдем значение функции в этой точке Теперь подставим \( x = \frac{11}{4} \) в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этой точке: \[ y\left(\frac{11}{4}\right) = \frac{11}{4} + \sqrt{3 - \frac{11}{4}} = \frac{11}{4} + \sqrt{\frac{12}{4} - \frac{11}{4}} = \frac{11}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{11}{4} + \frac{1}{2} \] \[ = \frac{11}{4} + \frac{2}{4} = \frac{13}{4} \] ### Итог Таким образом, точка экстремума (минимум) функции \( y = x + \sqrt{3 - x} \) находится в точке \( x = \frac{11}{4} \) и значение функции в этой точке равно \( y = \frac{13}{4} \). Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче, не стесняйтесь спрашивать!