Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, воспользуемся формулой, которая включает периметр основания и высоту боковых граней.
Шаг 1: Понимание геометрии усечённой пирамиды
Правильная усечённая четырёхугольная пирамида имеет два основания: большое (нижнее) и маленькое (верхнее). В нашей задаче:
- Длина стороны большого основания (S1) = 22 см
- Длина стороны маленького основания (S2) = 6 см
- Длина бокового ребра (l) = (4√5) см
Шаг 2: Вычисляем периметры оснований
Периметр квадратного основания можно вычислить по формуле:
[
P = 4a
]
где (a) — длина стороны квадрата.
Для большого основания (22 см):
[
P_1 = 4 \times 22 = 88 \text{ см}
]
Для маленького основания (6 см):
[
P_2 = 4 \times 6 = 24 \text{ см}
]
Шаг 3: Определение высоты боковых граней
Мы знаем длину бокового ребра (l) и должны найти высоту h боковой грани для использования формулы площади.
Применяем теорему Пифагора
В каждом прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, высотой боковой грани и половиной разности оснований, мы можем применить теорему Пифагора.
Давайте найдем половину разности оснований:
[
\frac{S_1 - S_2}{2} = \frac{22 - 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}
]
Теперь у нас есть один катет (8 см) и гипотенуза (высота боковой грани), которая равна боковому ребру (4√5 см).
Применяем теорему Пифагора:
[
l^2 = h^2 + \left(\frac{S_1 - S_2}{2}\right)^2
]
[
(4√5)^2 = h^2 + 8^2
]
[
80 = h^2 + 64
]
[
h^2 = 80 - 64
]
[
h^2 = 16
]
[
h = 4 \text{ см}
]
Шаг 4: Вычисляем площадь боковой поверхности
Теперь можно рассчитать площадь боковой поверхности усечённой пирамиды по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot h
]
Подставляем наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (88 + 24) \cdot 4
]
[
S = \frac{1}{2} \cdot 112 \cdot 4
]
[
S = 56 \cdot 4 = 224 \text{ см}^2
]
Ответ
Площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды составляет (224 \text{ см}^2).
