Треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора АВ + СА.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Мы знаем длины двух катетов: AC = 3 и BC = 4.
Давайте найдём длину гипотенузы AB. Для этого мы будем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Формула выглядит так:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Теперь подставим известные значения:
\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \]
\[ AB^2 = 9 + 16 \]
\[ AB^2 = 25 \]
Теперь извлечём квадратный корень:
\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь, когда мы нашли длину отрезка AB, мы можем перейти к вычислению вектора AВ + СА.
Вектора в геометрии обозначают направление и длину. Обозначим вектор \( \vec{AB} \) и вектор \( \vec{CA} \):
- Вектор \( \vec{AB} \) имеет длину 5.
- Вектор \( \vec{CA} \) имеет длину, равную длине отрезка AC, что составляет 3.
Теперь, чтобы найти сумму векторов \( \vec{AB} + \vec{CA} \), нужно учитывать их направления. Так как C – это угол между векторами, а A и B находятся на одном уровне социального расстояния, сумма векторов будет равна их длинне, так как один вектор не противоречит направлению другого.
Таким образом, суммарная длина вектора AВ и вектора СА будет равна:
\[ |\vec{AB}| + |\vec{CA}| = 5 + 3 = 8 \]
Ответ: длина вектора \( \vec{AB} + \vec{CA} = 8 \).
