Укажите количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих углам 4П/3+Пk, k принадлежит Z на отрезке [-9П/2;-4П]

Чтобы решить задачу, начнем с рассмотрения выражения для углов и анализа условий.

Шаг 1: Понимание выражения для углов

Дано выражение: \[ \theta = \frac{4\pi}{3} + \pi k \] где \(k\) - любое целое число ( \(k \in \mathbb{Z}\) ).

Это означает, что мы можем получить разные углы, изменяя \(k\). Важно заметить, что добавление \(\pi k\) будет приводить к тому, что углы повторяются через \(\pi\), т.е. каждый угол \(\theta\) будет равен углу, полученному при \(k + 1\) или \(k - 1\).

Шаг 2: Условия для углов

Мы ищем значения \(k\), соответствующие углам в интервале \([-9\pi/2; -4\pi]\).

Шаг 3: Определение границ для \(k\)

Запишем неравенство для углов: \[ -9\pi/2 \leq \frac{4\pi}{3} + \pi k \leq -4\pi \]

Шаг 4: Преобразование неравенств

1. Левая часть: \[ -9\pi/2 \leq \frac{4\pi}{3} + \pi k \] Переносим \(\frac{4\pi}{3}\) в левую сторону: \[ -9\pi/2 - \frac{4\pi}{3} \leq \pi k \] Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(-9\pi/2\) и \(-4\pi/3\) будет 6: \[ -\frac{27\pi}{6} - \frac{8\pi}{6} \leq \pi k \] \[ -\frac{35\pi}{6} \leq \pi k \] Делим обе стороны на \(\pi\) (помним, что \(\pi\) - положительное): \[ -\frac{35}{6} \leq k \quad \Rightarrow \quad k \geq -6 \]

2. Правая часть: \[ \frac{4\pi}{3} + \pi k \leq -4\pi \] Переносим \(\frac{4\pi}{3}\) в правую сторону: \[ \pi k \leq -4\pi - \frac{4\pi}{3} \] Снова приводим к общему знаменателю: \[ \pi k \leq -\frac{12\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{16\pi}{3} \] Делим обе стороны на \(\pi\): \[ k \leq -\frac{16}{3} \quad \Rightarrow \quad k \leq -5.33 \]

Шаг 5: Целые значения для \(k\)

Теперь мы знаем, что: \[ -6 \leq k \leq -5.33 \] Целые значения \(k\) в этом диапазоне:

• \(k = -6\)
• \(k = -5\)

Шаг 6: Количество точек

Таким образом, есть два целых значения \(k = -6\) и \(k = -5\), которые мы можем использовать. Это соответствует двум углам (вершинам) на тригонометрической окружности.

Ответ

Итак, количество точек на тригонометрической окружности, отвечающих условиям задачи, составляет 2 точки.