Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами окружностей и понятиями вероятности.
Шаг 1: Определим параметры окружности
Обозначим радиус окружности как ( R ).
Шаг 2: Найдем площадь всей окружности
Площадь ( S ) окружности рассчитывается по формуле:
[
S = \pi R^2
]
Шаг 3: Найдем площадь круговой области, находящейся не далее ( \frac{1}{2} R ) от центра
Эта область представляет собой меньшую окружность, радиус которой равен ( \frac{1}{2} R ). Площадь этой меньшей окружности ( S_{small} ) будет равна:
[
S_{small} = \pi \left(\frac{1}{2} R\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{4} R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2
]
Шаг 4: Найдем вероятность попадания точки в меньшую окружность
Вероятность ( P ) того, что точка упадет не далее ( \frac{1}{2} R ) от центра, равна отношению площади меньшей окружности к площади всей окружности:
[
P = \frac{S_{small}}{S} = \frac{\frac{1}{4} \pi R^2}{\pi R^2}
]
Шаг 5: Упростим выражение
Сократив одинаковые элементы в числителе и знаменателе, получаем:
[
P = \frac{1}{4}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что точка упадет не далее ( \frac{1}{2} R ) от центра окружности, равна ( \frac{1}{4} ) или ( 0.25 ) (в десятичной форме).
Если необходимо округлить до сотых, то ответ также составит ( 0.25 ).
