Представьте, что перед вами лежит окружность некоторого радиуса. Вы наугад бросаете на эту окружность точку. Какова вероятность того, что точка упадет не далее 1/2 радиуса от…

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами окружностей и понятиями вероятности.

Шаг 1: Определим параметры окружности

Обозначим радиус окружности как \( R \).

Шаг 2: Найдем площадь всей окружности

Площадь \( S \) окружности рассчитывается по формуле:

\[ S = \pi R^2 \]

Шаг 3: Найдем площадь круговой области, находящейся не далее \( \frac{1}{2} R \) от центра

Эта область представляет собой меньшую окружность, радиус которой равен \( \frac{1}{2} R \). Площадь этой меньшей окружности \( S_{small} \) будет равна:

\[ S_{small} = \pi \left(\frac{1}{2} R\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{4} R^2 = \frac{1}{4} \pi R^2 \]

Шаг 4: Найдем вероятность попадания точки в меньшую окружность

Вероятность \( P \) того, что точка упадет не далее \( \frac{1}{2} R \) от центра, равна отношению площади меньшей окружности к площади всей окружности:

\[ P = \frac{S_{small}}{S} = \frac{\frac{1}{4} \pi R^2}{\pi R^2} \]

Шаг 5: Упростим выражение

Сократив одинаковые элементы в числителе и знаменателе, получаем:

\[ P = \frac{1}{4} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что точка упадет не далее \( \frac{1}{2} R \) от центра окружности, равна \( \frac{1}{4} \) или \( 0.25 \) (в десятичной форме).

Если необходимо округлить до сотых, то ответ также составит \( 0.25 \).