Решим задачу поэтапно.
1. Обозначим переменные:
- Пусть количество деталей, которые делает второй рабочий за час, обозначим как ( x ).
- Тогда первый рабочий делает на 6 деталей больше, то есть ( x + 6 ).
2. Рассмотрим время, необходимое каждому рабочему для выполнения заказа:
Второй рабочий выполняет заказ из 80 деталей, работая по ( x ) деталей в час. Значит, время, которое он тратит на заказ, можно вычислить по формуле:
[
t_2 = \frac{80}{x}
]
Первый рабочий работает с производительностью ( x + 6 ) деталей в час, значит время, которое он тратит, будет:
[
t_1 = \frac{80}{x + 6}
]
3. Проанализируем условие задачи:
Согласно условию, первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:
[
t_2 - t_1 = 3
]
Подставим наши выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 6} = 3
]
4. Найдем общее решение уравнения:
Для упрощения уравнения найдем общий знаменатель, которым будет ( x(x + 6) ):
[
\frac{80(x + 6) - 80x}{x(x + 6)} = 3
]
Упростим числитель:
[
\frac{480}{x(x + 6)} = 3
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( x(x + 6) ) (при условии, что ( x \neq 0 )):
[
480 = 3x(x + 6)
]
5. Раскроем скобки и упростим уравнение:
[
480 = 3x^2 + 18x
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
3x^2 + 18x - 480 = 0
]
6. Разделим всё на 3:
[
x^2 + 6x - 160 = 0
]
7. Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта:
Дискриминант ( D ) равен:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676
]
Корни уравнения можно найти по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{676}}{2}
]
Корень из 676 равен 26, подставим это:
[
x = \frac{-6 + 26}{2} = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{(положительное значение)}
]
или
[
x = \frac{-6 - 26}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \quad \text{(отрицательное значение, не подходит)}
]
То есть, второй рабочий делает 10 деталей в час.
8. Найдем работу первого рабочего:
Теперь подставим значение ( x ) для нахождения производительности первого рабочего:
[
x + 6 = 10 + 6 = 16
]
Ответ:
Первый рабочий делает 16 деталей в час.
