.

Для решения задачи найдем величины углов равнобедренного треугольника \( \triangle ABG \).

Дано:

• Треугольник равнобедренный: \( AB = AG \)
• Внешний угол при основании \( AG \): \( \angle A = 164^\circ \)

Найти:

• Углы \( \angle A \), \( \angle B \), \( \angle G \)

Решение:

1. Внешний угол и его свойства:

   • Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
   • Если внешний угол \( \angle A = 164^\circ \), то \( \angle B + \angle G = 164^\circ \).

2. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • Следовательно, \( \angle B = \angle G \).

3. Найдем углы \( \angle B \) и \( \angle G \):

   • Пусть \( \angle B = \angle G = x \).
   • Тогда \( x + x = 164^\circ \).
   • Значит, \( 2x = 164^\circ \).

4. Решаем уравнение: \[ x = \frac{164^\circ}{2} = 82^\circ \]

5. Внутренние углы треугольника:

   • Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \).
   • Поэтому \( \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle G) = 180^\circ - 82^\circ - 82^\circ = 16^\circ \).

Ответ:

• \( \angle A = 16^\circ \)
• \( \angle B = 82^\circ \)
• \( \angle G = 82^\circ \)

Таким образом, углы треугольника \( \triangle ABG \) равны \( 16^\circ \), \( 82^\circ \), и \( 82^\circ \).