реши

Чтобы определить площадь правильного многоугольника, описанного около окружности радиуса \( R \), можно воспользоваться формулой для площади \( S \) многоугольника с \( n \) сторонами:

\[ S = \frac{1}{2} n R^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \]

1. У многоугольника 12 сторон (n = 12) и радиус окружности \( R = 4 \, \text{см} \):

Подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 4^2 \times \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) \]

Сначала найдем угол: \[ \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \]

Теперь найдём синус: \[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]

Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 \times \frac{1}{2} = 48 \]

Таким образом, площадь многоугольника: \[ S = 48 \, \text{см}^2 \]

2. У многоугольника 9 сторон (n = 9) и радиус окружности \( R = 4 \, \text{см} \):

Подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 4^2 \times \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) \]

Сначала найдем угол: \[ \frac{2\pi}{9} \]

Найдем синус этого угла (значение округлено): \[ \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right) \approx 0.684 \]

Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 16 \times 0.684 \approx 49.248 \]

Округляем до целых: \[ S \approx 49 \]

Таким образом, площадь многоугольника: \[ S = 49 \, \text{см}^2 \]