Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 42 42 . Найдите высоту этой трапеции.

Для решения задачи найдем высоту равнобедренной трапеции с известным радиусом вписанной окружности. Давайте рассмотрим свойства равнобедренной трапеции и формулы, которые нам понадобятся.

Шаг 1: Понимание свойств равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции (обозначим её ABCD, где AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны) радиус вписанной окружности (r) связан с полупериметром (p) и площадью (S) следующим образом:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Шаг 2: Определение полупериметра

Полупериметр равнобедренной трапеции можно выразить как:

\[ p = \frac{a + b + c + d}{2} \]

где:

• \(a\) и \(b\) — длины оснований (AB и CD),
• \(c\) и \(d\) — длины боковых сторон (AD и BC).

В нашем случае поскольку трапеция равнобедренная, то \(c = d\).

Шаг 3: Площадь трапеции

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \(h\) — высота трапеции.

Шаг 4: Связь между высотой и радиусом вписанной окружности

Для равнобедренной трапеции верна следующая связь:

\[ h = 2r \]

Шаг 5: Подстановка значений

Мы знаем, что радиус вписанной окружности \( r = 42 \). Подставим это значение в формулу для высоты \(h\):

\[ h = 2 \cdot 42 = 84 \]

Ответ

Таким образом, высота равнобедренной трапеции равна \(84\) единицам.