Вариант № 2. 1. Объем цилиндра равен 60 п см 3, а площадь осевого сечения 24 см 2. Найдите радиус основания цилиндра. 2. Объем конуса равен 576 п дм 3. Осевое сечение конуса…

Давайте разберём задачи по очереди.

Задача 1:

Объем цилиндра равен \( V = 60\pi \) см³, а площадь осевого сечения равна \( S = 24 \) см². Найдите радиус основания цилиндра.

Решение:

Объем цилиндра можно выразить через радиус основания \( r \) и высоту \( h \):

\[ V = S \cdot h \]

Где \( S = \pi r^2 \) (площадь основания). Мы знаем, что

\[ h = \frac{S}{\pi r^2} \]

И подставим это в формулу объема:

\[ V = \pi r^2 \cdot h = \pi r^2 \cdot \frac{V}{S} \]

Теперь мы можем найти радиус:

1. Из уравнения объема найдем высоту: \[ h = \frac{V}{S} = \frac{60\pi}{24} = \frac{60}{24} \cdot \pi = 2.5\pi \text{ см} \]

2. Теперь подставим значение высоты в формулу площади: \[ S = \pi r^2 \Rightarrow 24 = \pi r^2 \implies r^2 = \frac{24}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{24}{\pi}} \]

3. Воспользуемся приближением \( \pi \approx 3.14 \): \[ r \approx \sqrt{\frac{24}{3.14}} \approx \sqrt{7.64} \approx 2.76 \text{ см} \]

Таким образом, радиус основания цилиндра примерно равен 2.76 см.

---

Задача 2:

Объем конуса равен \( V = 576 \pi \) дм³. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса.

Решение:

Формула объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Здесь:

1. Зададим \( V = 576 \pi \):

\[ 576 \pi = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

2. Упрощаем уравнение:

\[ 576 = \frac{1}{3} r^2 h \implies r^2 h = 1728 \]

3. Для осевого сечения прямоугольного треугольника, радиус \( r \) и высота \( h \) соотносятся как \( r = \frac{h}{2} \) (гипотенуза). Подставим в уравнение:

\[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = 1728 \]

\[ \frac{h^3}{4} = 1728 \implies h^3 = 6912 \implies h = \sqrt[3]{6912} \approx 19.12 \text{ дм} \]

Таким образом, высота конуса примерно равна 19.12 дм.

---

Задача 3:

Объем алюминиевого шара равен \( 44 \pi \) см³. Образующий конуса равен \( 7 \) см. Найдите высоту этого конуса.

Решение:

1. Объем шара:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 44 \pi \implies r^3 = \frac{44 \cdot 3}{4} = 33 \implies r \approx 3.2 \text{ см} \]

Объем конуса:

\[ V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

где \( r = 7 \). Подставим:

\[ 44 \pi = \frac{1}{3} \pi (7^2) h \implies 44 = \frac{1}{3} \cdot 49 \cdot h \]

Решаем уравнение:

• Умножим обе части на 3:

\[ 132 = 49h \implies h = \frac{132}{49} \approx 2.69 \text{ см} \]

Так как высота должна быть целым числом и не менее 3 см, то примем \( h = 3 \) см.

---

Задача 4:

Объем шара \( V = 400 \) см³. На радиусе как на диаметре построен другой шар. Найдите объем малого шара.

Решение:

1. Объем большого шара:

\[ \frac{4}{3} \pi R^3 = 400 \implies R^3 = \frac{400 \cdot 3}{4} = 300 \implies R \approx \sqrt[3]{300} \]

2. Таким образом, радиус малого шара равен \( r = R/2 \). Найдем радиус малого шара и его объем:

\[ r = \frac{R}{2} \]

Объем малого шара:

\[ V_{\text{мал}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = \frac{1}{6} \cdot 400 \implies \frac{400}{6} \approx 66.67 \text{ см}^3 \]

---

Задача 5:

Объем одного шара \( 16 \) л см³, другого \( 20 \) л см³. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме объемов.

Решение:

1. Сумма объемов:

\[ V_{\text{итого}} = 16 + 20 = 36 \text{ л см}^3 \]

2. Найдем радиус шара:

\[ \frac{4}{3} \pi R^3 = 36 \implies R^3 = \frac{36 \cdot 3}{4} = 27 \implies R = 3 \text{ см} \]

---

Задача 6:

Диаметр шара радиуса \( 12 \) см разделен на \( 3 \) части, длины которых относятся как \( 1: 3: 4 \). Найдите объем ко-образовавшихся частей шара.

Решение:

1. Полный диаметр = \( 2R = 24 \) см. Находим длины частей:

\[ x + 3x + 4x = 24 \implies 8x = 24 \implies x = 3 \] Отсюда, длины частей:

• Первая часть: \( 3 \) см
• Вторая часть: \( 9 \) см
• Третья часть: \( 12 \) см

2. Вычисляем объем каждой части, зная, что объём шара \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (12^3) = 288 \pi \), части пропорциональны длинам. Объемы частей тоже будут пропорциональны длинам.

Таким образом, объемы частей:

• Первая (1): \( \frac{1}{8} \cdot 288 \pi = 36 \pi \)
• Вторая (3): \( \frac{3}{8} \cdot 288 \pi = 108 \pi \)
• Третья (4): \( \frac{4}{8} \cdot 288 \pi = 144 \pi \)

---

Если что-то осталось непонятным или вы хотите больше пояснений, пожалуйста, дайте знать!