Дана окружность. Через точку M, не лежащую на окружности, проведены две прямые так, что первая прямая касается окружности в точке N, а вторая прямая пересекает окружность в точках…

Чтобы решить задачу, давайте проанализируем данную ситуацию и использовать свойства касательных и секущих к окружности.

1. Построение:
   Мы имеем окружность, точку M вне окружности, и касательную прямую, которая касается окружности в точке N. Параллельно также проведена секущая прямая, которая пересекает окружность в точках Q и P.

2. Данные:
   Из условия задачи нам известно, что длины отрезков:

   • \( MQ = 3 \)
   • \( MP = 12 \)

3. Свойства касательных и секущих:
   Существует важное свойство о длинне отрезка, проведенного из внешней точки к окружности. Оно гласит:
   \[ MN^2 = MQ \cdot MP \]

   где MN – длина отрезка от точки M до точки касания N.

4. Подставим данные в формулу:
   Мы можем найти произведение: \[ MQ \cdot MP = 3 \cdot 12 = 36 \]

5. Теперь найдем MN:
   Из вышеуказанной формулы следует, что: \[ MN^2 = 36 \]

6. Извлечение квадратного корня:
   Теперь, чтобы найти MN, извлечем квадратный корень: \[ MN = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, длина отрезка \( MN \) равна \( 6 \).

Ответ: \( MN = 6 \)