Основание прямой призы-прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углам 45 градусов объем призмы равен 108 см в кубе найдите площадь полной поверхности призмы

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи

Мы имеем прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник. Один из катетов треугольника равен 6 см, а острый угол при этом катете составляет 45 градусов. Объем призмы составляет 108 см³. Нам необходимо найти площадь полной поверхности призмы.

Шаг 2: Найдем параметры основания

Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник с острым углом 45 градусов, то оба катета равны. В нашем случае длина одного катета (a) равна 6 см. Поскольку оба катета равны, длина второго катета также будет равна 6 см.

Параметры треугольника:

• катет \(a = 6 \, \text{см}\)
• катет \(b = 6 \, \text{см}\)

Теперь находим гипотенузу (c) этого треугольника по теореме Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Шаг 3: Находим высоту призмы

Объем призмы (V) выражается через площадь основания (S) и высоту (h) призмы: \[ V = S \cdot h \] Площадь основания (S) треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2 \] Теперь подставим известные значения в формулу для объема: \[ 108 = 18 \cdot h \] Отсюда: \[ h = \frac{108}{18} = 6 \, \text{см} \]

Шаг 4: Находим площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы состоит из двух оснований и трех боковых граней.

1. Площадь двух оснований (S): \[ \text{Площадь оснований} = 2 \cdot S = 2 \cdot 18 = 36 \, \text{см}^2 \]

2. Площадь боковых граней:

   • Две боковые грани - это прямоугольники с размерами катетов (6 см и 6 см). \[ \text{Площадь двух боковых граней} = 2 \cdot (6 \cdot h) = 2 \cdot (6 \cdot 6) = 2 \cdot 36 = 72 \, \text{см}^2 \]
   • Одна боковая граница - это прямоугольник с размерами гипотенузы и высоты. \[ \text{Площадь одной боковой грани} = c \cdot h = 6\sqrt{2} \cdot 6 = 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, полная площадь боковых граней составит: \[ \text{Площадь боковых граней} = 72 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Теперь подставим всё в формулу для полной площади поверхности: \[ \text{Полная площадь поверхности} = \text{Площадь оснований} + \text{Площадь боковых граней} = 36 + 72 + 36\sqrt{2} = 108 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Ответ

Площадь полной поверхности призмы равна \( 108 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2 \).