В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора BA - BC.

Чтобы решить задачу, давайте разберем её шаг за шагом. Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Даны длины сторон AC и BC: - AC = 3 - BC = 4 Наша задача - найти длину вектора \( \vec{BA} - \vec{BC} \). ### Шаг 1: Найдем длину стороны AB Поскольку C - это прямой угол, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB. По этой теореме, в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Теперь найдем AB: \[ AB = \sqrt{25} = 5 \] ### Шаг 2: Выбрать систему координат Для удобства введем координаты точек: - Пусть C будет в начале координат, то есть C(0, 0). - Точка A будет находиться на оси Y, затем A (0, 3) (так как AC = 3). - Точка B будет находится на оси X, то есть B(4, 0) (так как BC = 4). Теперь точки определены: - A(0, 3) - B(4, 0) - C(0, 0) ### Шаг 3: Запишем векторы Теперь найдем векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \): - Вектор \( \vec{BA} \) можно найти как разность координат A и B: \[ \vec{BA} = A - B = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3) \] - Вектор \( \vec{BC} \) можно найти как разность координат C и B: \[ \vec{BC} = C - B = (0 - 4, 0 - 0) = (-4, 0) \] ### Шаг 4: Найдем разность векторов Теперь найдем \( \vec{BA} - \vec{BC} \): \[ \vec{BA} - \vec{BC} = (-4, 3) - (-4, 0) \] Находим разность по компонентам: \[ = (-4 - (-4), 3 - 0) = (0, 3) \] ### Шаг 5: Найдем длину результата Теперь нам нужно найти длину вектора \( (0, 3) \). Длина вектора вычисляется по формуле: \[ |v| = \sqrt{x^2 + y^2} \] В нашем случае: \[ | (0, 3) | = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \] ### Ответ Таким образом, длина вектора \( \vec{BA} - \vec{BC} \) равна 3.