В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора BA - BC.

Чтобы решить задачу, давайте разберем её шаг за шагом.

Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Даны длины сторон AC и BC:

• AC = 3
• BC = 4

Наша задача - найти длину вектора \( \vec{BA} - \vec{BC} \).

Шаг 1: Найдем длину стороны AB

Поскольку C - это прямой угол, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB. По этой теореме, в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим значения:

\[ AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Теперь найдем AB:

\[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 2: Выбрать систему координат

Для удобства введем координаты точек:

• Пусть C будет в начале координат, то есть C(0, 0).
• Точка A будет находиться на оси Y, затем A (0, 3) (так как AC = 3).
• Точка B будет находится на оси X, то есть B(4, 0) (так как BC = 4).

Теперь точки определены:

• A(0, 3)
• B(4, 0)
• C(0, 0)

Шаг 3: Запишем векторы

Теперь найдем векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \):

• Вектор \( \vec{BA} \) можно найти как разность координат A и B: \[ \vec{BA} = A - B = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3) \]

• Вектор \( \vec{BC} \) можно найти как разность координат C и B: \[ \vec{BC} = C - B = (0 - 4, 0 - 0) = (-4, 0) \]

Шаг 4: Найдем разность векторов

Теперь найдем \( \vec{BA} - \vec{BC} \):

\[ \vec{BA} - \vec{BC} = (-4, 3) - (-4, 0) \]

Находим разность по компонентам:

\[ = (-4 - (-4), 3 - 0) = (0, 3) \]

Шаг 5: Найдем длину результата

Теперь нам нужно найти длину вектора \( (0, 3) \). Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |v| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

В нашем случае:

\[ | (0, 3) | = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ

Таким образом, длина вектора \( \vec{BA} - \vec{BC} \) равна 3.