В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора ВС - AC.
Чтобы решить задачу, нам нужно найти длину вектора \( \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) является прямым, \( AC = 3 \) и \( BC = 4 \).
Построим треугольник и определим точки:
- Поставим точку \( C \) в начале координат, т.е. \( C(0, 0) \).
- Так как \( A \) лежит на оси \( X \) (так как \( C \) — угол прямой), установим координаты точки \( A \) на \( (3, 0) \) (поскольку \( AC = 3 \)).
- Точка \( B \) будет находиться на оси \( Y \) (так как он перпендикулярен \( AC \)) и будет расположена в координатах \( (0, 4) \) (поскольку \( BC = 4 \)).
Найдем векторы \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
- Вектор \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (0, 4) - (0, 0) = (0, 4) \]
- Вектор \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (3, 0) - (0, 0) = (3, 0) \]
Вычтем векторы: Теперь нам нужно найти \( \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = (0, 4) - (3, 0) = (0 - 3, 4 - 0) = (-3, 4) \]
Найдем длину полученного вектора: Длину вектора \( \overrightarrow{v} = (-3, 4) \) находим по формуле длины вектора: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} \) равна 5.
