реши

Давайте разберём решение задач на изображении шаг за шагом.

1. Области определения функции

Функция задана выражением \( y = x^3 + 2x^2 \).

Область определения функции — это множество всех значений \( x \), для которых функция определена.

Для приведённой функции область определения: все действительные числа \((-\infty, +\infty)\).

2. Области возрастания и убывания функции, стационарные точки, точки экстремума:

Найдём производную

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, найдём производную: \[ f(x) = x^3 + 2x^2 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 4x \]

Найдём стационарные точки

Стационарные точки находятся путём приравнивания первой производной к нулю: \[ 3x^2 + 4x = 0 \] \[ x(3x + 4) = 0 \]

Отсюда \( x = 0 \) или \( 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \).

Стационарные точки: \( x = 0 \), \( x = -\frac{4}{3} \).

Исследуем знак производной

На числовой оси отметим точки \( x = 0 \) и \( x = -\frac{4}{3} \) и исследуем знак первой производной на интервалах:

• для \( x < -\frac{4}{3} \), выберем \( x = -2 \): \( f'(-2) = 3(-2)^2 + 4(-2) = 4 > 0 \), функция возрастает.
• для \( -\frac{4}{3} < x < 0 \), выберем \( x = -1 \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1) = -1 < 0 \), функция убывает.
• для \( x > 0 \), выберем \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 7 > 0 \), функция возрастает.

Интервалы:

• возрастает на \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \cup (0, +\infty) \)
• убывает на \( (-\frac{4}{3}, 0) \)

Точки экстремума

• Локальный максимум: В точке \( x = -\frac{4}{3} \), так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
• Локальный минимум: В точке \( x = 0 \), так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

3. Исследование функции \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 9x - 4\) на экстремумы

Найдём производную

\[ g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 9x - 4 \] \[ g'(x) = 6x^2 - 6x - 9 \]

Найдём стационарные точки

Приравняем производную к нулю: \[ 6x^2 - 6x - 9 = 0 \]

Решим это уравнение, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 6 \times (-9) = 36 + 216 = 252 \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{252}}{12} = \frac{6 \pm 6\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

Стационарные точки: \( x = \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \) и \( x = \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \).

Далее исследуем знаки производной на интервалах, чтобы определить экстремумы.

4. Исследуем функцию \( h(x) = x^4 - 2x^2 \) методом критических точек

Найдём производную

\[ h(x) = x^4 - 2x^2 \] \[ h'(x) = 4x^3 - 4x \]

\[ h'(x) = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \]

Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \]

Решения: \( x = 0, x = 1, x = -1 \)

Интервалы:

• \( (-\infty, -1) \) — выберем \( x = -2 \)
• \( (-1, 0) \) — выберем \( x = -0.5 \)
• \( (0, 1) \) — выберем \( x = 0.5 \)
• \( (1, +\infty) \) — выберем \( x = 2 \)

Проверим знаки производной на этих интервалах и найдём экстремумы.

5. Построение графика

График функции можно построить, используя полученные интервалы возрастания и убывания, а также экстремальные точки. Это позволит нарисовать точный график функции.