реши
Для определения промежутков возрастания и убывания функции \( y = -x^3 + 9x^2 + 21x \), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции:
Функция: \( y = -x^3 + 9x^2 + 21x \).
Производная: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(9x^2) + \frac{d}{dx}(21x) \] \[ y' = -3x^2 + 18x + 21 \]
Найти критические точки:
Для этого приравняем производную к нулю: \[ -3x^2 + 18x + 21 = 0 \] Упростим это квадратное уравнение: \[ 3x^2 - 18x - 21 = 0 \] Разделим всё на 3: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]
Найдем корни с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 8}{2} \] \[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 \]
Определить промежутки возрастания и убывания:
Используем тестовые значения из каждого промежутка, чтобы понять знак производной:
Для промежутка \( (-\infty, -1) \): выберем \( x = -2 \). \[ y'(-2) = -3(-2)^2 + 18(-2) + 21 = -12 - 36 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) \] На этом промежутке функция убывает.
Для промежутка \( (-1, 7) \): выберем \( x = 0 \). \[ y'(0) = -3(0)^2 + 18(0) + 21 = 21 \quad (\text{положительно}) \] На этом промежутке функция возрастает.
Для промежутка \( (7, \infty) \): выберем \( x = 8 \). \[ y'(8) = -3(8)^2 + 18(8) + 21 = -192 + 144 + 21 = -27 \quad (\text{отрицательно}) \] На этом промежутке функция убывает.
Вывод:
Функция убывает на промежутке \( (-\infty, -1) \), возрастает на промежутке \( (-1, 7) \) и снова убывает на промежутке \( (7, \infty) \).
