Чтобы понять, как решить матричное уравнение ( A \cdot X = B ), давайте рассмотрим каждую из предложенных формул. Мы знаем, что матричное уравнение имеет смысл, только если матрица ( A ) обратима (имеет обратную матрицу).
Шаг 1: Определение обратной матрицы
Если у матрицы ( A ) существует обратная матрица ( A^{-1} ), то умножение обеих сторон уравнения на ( A^{-1} ) поможет нам найти ( X ).
Шаг 2: Умножение на обратную матрицу
Умножим обе стороны уравнения ( A \cdot X = B ) слева на ( A^{-1} ):
[
A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B
]
Шаг 3: Применение свойств матриц
По свойству умножения матриц, ( A^{-1} \cdot A ) равно единичной матрице ( I ), а перемножение любой матрицы на единичную матрицу оставляет её неизменной:
[
I \cdot X = A^{-1} \cdot B
]
Это упрощается до:
[
X = A^{-1} \cdot B
]
Таким образом, верно утверждение под номером 1:
( X = A^{-1}B )
Шаг 4: Анализ других вариантов
Теперь проверим другие варианты:
( X = B A^{-1} ): Это неверно. Мы не можем просто менять порядок умножения матриц так, как мы это делаем с числами.
( X = A - B ): Это неверно. Выражение с вычитанием не связано с решением матричного уравнения.
( X = B - A ): Это также неверно по той же причине, что вычитание не соответствует решению уравнения.
Итог:
- Правильный ответ: 1. ( X = A^{-1}B ).
Таким образом, матричное уравнение ( A \cdot X = B ) имеет решение, равное произведению обратной матрицы ( A^{-1} ) на матрицу ( B ).
