Найдите общее решение уравнения (x+y) dx+xdy= 0 1)y=c-x'2/2x 2)y=x'-c/2x 3) y=c-x'2/x

Давайте разберем уравнение \((x + y) \, dx + x \, dy = 0\). ### Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду Мы можем переписать уравнение следующим образом: \[ (x + y) \, dx + x \, dy = 0 \implies x \, dy + (x + y) \, dx = 0 \] ### Шаг 2: Разделение переменных Разделим переменные: \[ x \, dy = - (x + y) \, dx \] Теперь можно выразить \(dy\): \[ dy = -\frac{x + y}{x} \, dx = -\left(1 + \frac{y}{x}\right) \, dx \] ### Шаг 3: Применим замену переменных Решим это дифференциальное уравнение методом замены переменных. Пусть \(v = \frac{y}{x}\), тогда \(y = vx\) и \(dy = v \, dx + x \, dv\). Подставим в уравнение: \[ v \, dx + x \, dv = -\left(1 + v\right) \, dx \] Соберем все члены вместе: \[ v \, dx + x \, dv + (1 + v) \, dx = 0 \] \[ (x \, dv + (v + 1) \, dx) = 0 \] ### Шаг 4: Упрощаем Теперь можем дальше работать с полученным уравнением: \[ x \, dv = - (v + 1) \, dx \] Из этого можно выразить: \[ \frac{dv}{v + 1} = -\frac{dx}{x} \] ### Шаг 5: Интеграция Проинтегрируем обе стороны: \[ \int \frac{dv}{v + 1} = -\int \frac{dx}{x} \] Левые интегралы: \[ \ln |v + 1| = -\ln |x| + C \] ### Шаг 6: Возвращаемся к переменной \(y\) Теперь, подставим обратно \(v = \frac{y}{x}\): \[ \ln \left| \frac{y}{x} + 1 \right| = - \ln |x| + C \] Экспоненцируем обе стороны: \[ \left| \frac{y}{x} + 1 \right| = \frac{K}{|x|} \] где \(K = e^C\). Умножим обе стороны на \(x\): \[ |y + x| = \frac{K}{|x|} \cdot x = K \] Простое общее решение можно записать как: \[ y + x = \pm K \] или \[ y = -x \pm K \] ### Заключение Таким образом, общее решение уравнения можно записать в виде: 1. \(y = -x + C\), где \(C\) — произвольная константа. 2. \(y = -x - C\), где \(C\) — произвольная константа. Вы получили основные шаги к решению дифференциального уравнения. Если у вас остались вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!