Найдите общее решение уравнения (x+y) dx+xdy= 0 1)y=c-x'2/2x 2)y=x'-c/2x 3) y=c-x'2/x

Давайте разберем уравнение \((x + y) \, dx + x \, dy = 0\).

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду

Мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[ (x + y) \, dx + x \, dy = 0 \implies x \, dy + (x + y) \, dx = 0 \]

Шаг 2: Разделение переменных

Разделим переменные:

\[ x \, dy = - (x + y) \, dx \]

Теперь можно выразить \(dy\):

\[ dy = -\frac{x + y}{x} \, dx = -\left(1 + \frac{y}{x}\right) \, dx \]

Шаг 3: Применим замену переменных

Решим это дифференциальное уравнение методом замены переменных. Пусть \(v = \frac{y}{x}\), тогда \(y = vx\) и \(dy = v \, dx + x \, dv\).

Подставим в уравнение:

\[ v \, dx + x \, dv = -\left(1 + v\right) \, dx \]

Соберем все члены вместе:

\[ v \, dx + x \, dv + (1 + v) \, dx = 0 \] \[ (x \, dv + (v + 1) \, dx) = 0 \]

Шаг 4: Упрощаем

Теперь можем дальше работать с полученным уравнением:

\[ x \, dv = - (v + 1) \, dx \]

Из этого можно выразить:

\[ \frac{dv}{v + 1} = -\frac{dx}{x} \]

Шаг 5: Интеграция

Проинтегрируем обе стороны:

\[ \int \frac{dv}{v + 1} = -\int \frac{dx}{x} \]

Левые интегралы:

\[ \ln |v + 1| = -\ln |x| + C \]

Шаг 6: Возвращаемся к переменной \(y\)

Теперь, подставим обратно \(v = \frac{y}{x}\):

\[ \ln \left| \frac{y}{x} + 1 \right| = - \ln |x| + C \]

Экспоненцируем обе стороны:

\[ \left| \frac{y}{x} + 1 \right| = \frac{K}{|x|} \]

где \(K = e^C\).

Умножим обе стороны на \(x\):

\[ |y + x| = \frac{K}{|x|} \cdot x = K \]

Простое общее решение можно записать как:

\[ y + x = \pm K \] или \[ y = -x \pm K \]

Заключение

Таким образом, общее решение уравнения можно записать в виде:

1. \(y = -x + C\), где \(C\) — произвольная константа.
2. \(y = -x - C\), где \(C\) — произвольная константа.

Вы получили основные шаги к решению дифференциального уравнения. Если у вас остались вопросы или требуется дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!