Чтобы найти производную функции ( y = x e^x - e^x ), воспользуемся правилами дифференцирования.
Шаг 1: Применение производных
Функция ( y ) состоит из двух членов: ( x e^x ) и ( -e^x ). Мы можем найти производную каждого из них по отдельности и затем объединить результаты.
Шаг 2: Находим производную первого члена ( x e^x )
Для нахождения производной этого произведения воспользуемся правилом произведения:
[
(uv)' = u'v + uv'
]
Где:
- ( u = x ), тогда ( u' = 1 )
- ( v = e^x ), тогда ( v' = e^x )
Теперь применим правило:
[
\frac{d}{dx}(x e^x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x
]
Это можно упростить:
[
e^x + x e^x = (x + 1)e^x
]
Шаг 3: Находим производную второго члена ( -e^x )
Производная от ( -e^x ) будет:
[
\frac{d}{dx}(-e^x) = -e^x
]
Шаг 4: Объединяем результаты
Теперь мы можем объединить найденные производные:
[
\frac{dy}{dx} = (x + 1)e^x - e^x
]
Шаг 5: Упрощаем выражение
Упростим итоговое выражение:
[
\frac{dy}{dx} = (x + 1 - 1)e^x = x e^x
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( y = x e^x - e^x ) равна:
[
\frac{dy}{dx} = x e^x
]
Теперь вы понимаете, как мы нашли производную функции, применяя правило произведения и основные свойства дифференцирования. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
