Найдите производную функции y=xe^x-e^x

Чтобы найти производную функции \( y = x e^x - e^x \), воспользуемся правилами дифференцирования.

Шаг 1: Применение производных

Функция \( y \) состоит из двух членов: \( x e^x \) и \( -e^x \). Мы можем найти производную каждого из них по отдельности и затем объединить результаты.

Шаг 2: Находим производную первого члена \( x e^x \)

Для нахождения производной этого произведения воспользуемся правилом произведения:

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

Где:

• \( u = x \), тогда \( u' = 1 \)
• \( v = e^x \), тогда \( v' = e^x \)

Теперь применим правило:

\[ \frac{d}{dx}(x e^x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \]

Это можно упростить:

\[ e^x + x e^x = (x + 1)e^x \]

Шаг 3: Находим производную второго члена \( -e^x \)

Производная от \( -e^x \) будет:

\[ \frac{d}{dx}(-e^x) = -e^x \]

Шаг 4: Объединяем результаты

Теперь мы можем объединить найденные производные:

\[ \frac{dy}{dx} = (x + 1)e^x - e^x \]

Шаг 5: Упрощаем выражение

Упростим итоговое выражение:

\[ \frac{dy}{dx} = (x + 1 - 1)e^x = x e^x \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( y = x e^x - e^x \) равна:

\[ \frac{dy}{dx} = x e^x \]

Теперь вы понимаете, как мы нашли производную функции, применяя правило произведения и основные свойства дифференцирования. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!