Чтобы понять, как изменится среднее арифметическое набора чисел при добавлении к каждому числу одной и той же константы, разберем решение по шагам.
Шаг 1: Определение среднего арифметического
Среднее арифметическое (или просто "среднее") набора чисел — это сумма всех чисел, деленная на количество чисел в этом наборе. В данном случае среднее арифметическое числа набора ( X ) равно 10. Это можно записать так:
[
\text{Среднее арифметическое} = \frac{S}{n} = 10
]
где ( S ) — сумма всех чисел в наборе, а ( n ) — количество чисел в наборе.
Шаг 2: Сумма чисел набора
Из формулы выше мы можем выразить сумму ( S ):
[
S = n \cdot 10
]
Шаг 3: Изменение набора чисел
Теперь рассмотрим новый набор чисел, который получится, если ко всем числам набора ( X ) прибавить 3. Если каждое число ( x_i ) в наборе ( X ) заменяем на ( x_i + 3 ), новый набор можно обозначить как ( Y ).
Шаг 4: Среднее арифметическое нового набора
Теперь найдем среднее арифметическое нового набора ( Y ). Среднее арифметическое нового набора будет рассчитываться так:
[
\text{Среднее арифметическое } Y = \frac{(x_1 + 3) + (x_2 + 3) + \ldots + (x_n + 3)}{n}
]
Шаг 5: Упрощение выражения
Можно переписать сумму:
[
= \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + 3n}{n}
]
Заменим сумму ( (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) ) на ( S ):
[
= \frac{S + 3n}{n}
]
Шаг 6: Подставим значение S
Теперь подставим значение ( S ), которое мы нашли раньше:
[
= \frac{(n \cdot 10) + 3n}{n}
]
Шаг 7: Упрощение
Упрощаем выражение:
[
= \frac{10n + 3n}{n}
]
[
= \frac{13n}{n}
]
[
= 13
]
Заключение
Таким образом, среднее арифметическое нового набора чисел, к каждому элементу которого прибавили 3, равно 13.
Эта задача демонстрирует свойство среднего арифметического: если ко всем элементам набора прибавить одно и то же число, то новое среднее арфиметическое будет равно старому среднему арифметическому плюс это число (в данном случае ( 10 + 3 = 13 )).
