Для решения данной задачи используем свойства арифметической прогрессии. Запишем общую формулу n-го члена арифметической прогрессии:
[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ]
где:
- ( a_n ) — n-й член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии.
У нас есть два условия:
- ( a_2 = 10 )
- ( a_7 = 40 )
Сначала выразим эти два условия через первую формулу:
Для ( a_2 ):
[ a_2 = a_1 + (2 - 1) \cdot d ]
[ 10 = a_1 + d ] (1)
Для ( a_7 ):
[ a_7 = a_1 + (7 - 1) \cdot d ]
[ 40 = a_1 + 6d ] (2)
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):
[
\begin{cases}
10 = a_1 + d \
40 = a_1 + 6d
\end{cases}
]
Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( a_1 ):
[ a_1 = 10 - d ] (3)
Подставим (3) во второе уравнение:
[ 40 = (10 - d) + 6d ]
[ 40 = 10 - d + 6d ]
[ 40 = 10 + 5d ]
[ 40 - 10 = 5d ]
[ 30 = 5d ]
[ d = 6 ]
Теперь, когда мы нашли ( d ), можем подставить его обратно в (3), чтобы найти ( a_1 ):
[ a_1 = 10 - 6 = 4 ]
Теперь у нас есть первый член прогрессии: ( a_1 = 4 ) и разность ( d = 6 ).
Теперь найдём ( a_5 ):
[ a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot d ]
[ a_5 = 4 + 4 \cdot 6 ]
[ a_5 = 4 + 24 ]
[ a_5 = 28 ]
Таким образом, ( a_5 = 28 ).
Ответ:
( a_5 = 28 )
