Решение задачи:
1. Можем ли мы получить суммарную степень вершин графа, равную 11?
Суммарная степень вершин графа (S) равна количеству рёбер (E), умноженному на 2. Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины и добавляет 1 к степени каждой из этих вершин. Формула:
[ S = 2E ]
Для графа с 5 вершинами и степенями (0), (2), (2), (3), (3) суммируем степени:
[ S = 0 + 2 + 2 + 3 + 3 = 10 ]
Поскольку 10 является четным числом, суммарная степень вершин не может быть равной 11, так как 11 - это нечётное число.
Ответ: Суммарная степень вершин графа не может быть равна 11.
2. Сколько рёбер в графе с вершинами 0, 2, 2, 3, 3?
Мы уже определили сумму степеней:
[ S = 10 ]
Согласно формуле (S = 2E):
[ 10 = 2E ]
[ E = \frac{10}{2} = 5 ]
Ответ: В графе 5 рёбер.
3. Нарисуем граф с заданными степенями.
Чтобы нарисовать граф с вершинами степеней (0), (2), (2), (3), (3):
Вершина 0: не соединена ни с одной другой вершиной (ее можем игнорировать при рисовании).
Вершина 1 (степень 2): соединяем с вершинами 2 и 3.
Вершина 2 (степень 2): соединяем с вершинами 1 и 4.
Вершина 3 (степень 3): соединяем с вершинами 1, 4 и 5.
Вершина 4 (степень 3): соединяем с вершинами 2 и 3, и добавим одну дополнительную сторону, например, с вершиной 1.
Граф может выглядеть так:
1 -- 2
| \
| \
3-- 4
(где 0-ая вершина не изображена).
4. Может ли в стране, где из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
Если каждый город соединён с 3 дорогами, то:
- Если (n) — количество городов, то суммарная степень рёбер будет (3n).
- Снова используем формулу для рёбер:
[ 2E = 3n ]
Чтобы получить 100 дорог, должно выполняться следующее:
[ 100 = E ]
[ 2E = 3n \Longrightarrow 200 = 3n \Longrightarrow n = \frac{200}{3} ]
Поскольку (n) должно быть целым числом, (200) не делится на (3).
Ответ: Нет, в таком случае 100 дорог с 3 выходящими из каждого города быть не может.
5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга, у 11 - 4 друга, а у 10 - 5 друзей?
Мы можем использовать метод, основанный на подсчете количества "дружеских" связей, чтобы решить эту задачу. Дружба взаимная, поэтому каждая дружба считается для обоих друзей.
Считаем количество "дружеских" связей:
- У группы из 9 человек: (9 \times 3 = 27)
- У группы из 11 человек: (11 \times 4 = 44)
- У группы из 10 человек: (10 \times 5 = 50)
Итого:
[ 27 + 44 + 50 = 121 ]
Каждая связь учитывается дважды, поэтому общее количество уникальных дружеских связей:
[ \frac{121}{2} = 60.5 ]
Так как количество дружеских связей должно быть целым, то такой вариант невозможен.
Ответ: Нет, такое распределение дружбы невозможно.
