Может ли суммарная степень вершин графа быть равной 11? • В графе 5 вершин со степенями 0, 2, 2, 3, 3. Сколько в нем ребер? Нарисуй такой граф. • Может ли в государстве, в котором…

Решение задачи:

1. Можем ли мы получить суммарную степень вершин графа, равную 11?

Суммарная степень вершин графа (S) равна количеству рёбер (E), умноженному на 2. Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины и добавляет 1 к степени каждой из этих вершин. Формула: \[ S = 2E \]

Для графа с 5 вершинами и степенями \(0\), \(2\), \(2\), \(3\), \(3\) суммируем степени: \[ S = 0 + 2 + 2 + 3 + 3 = 10 \]

Поскольку 10 является четным числом, суммарная степень вершин не может быть равной 11, так как 11 - это нечётное число.

Ответ: Суммарная степень вершин графа не может быть равна 11.

2. Сколько рёбер в графе с вершинами 0, 2, 2, 3, 3?

Мы уже определили сумму степеней: \[ S = 10 \]

Согласно формуле \(S = 2E\): \[ 10 = 2E \] \[ E = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ: В графе 5 рёбер.

3. Нарисуем граф с заданными степенями.

Чтобы нарисовать граф с вершинами степеней \(0\), \(2\), \(2\), \(3\), \(3\):

• Вершина 0: не соединена ни с одной другой вершиной (ее можем игнорировать при рисовании).

• Вершина 1 (степень 2): соединяем с вершинами 2 и 3.

• Вершина 2 (степень 2): соединяем с вершинами 1 и 4.

• Вершина 3 (степень 3): соединяем с вершинами 1, 4 и 5.

• Вершина 4 (степень 3): соединяем с вершинами 2 и 3, и добавим одну дополнительную сторону, например, с вершиной 1.

  Граф может выглядеть так:

    1 -- 2
    | \ 
    |  \
    3-- 4
  

(где 0-ая вершина не изображена).

4. Может ли в стране, где из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Если каждый город соединён с 3 дорогами, то:

• Если \(n\) — количество городов, то суммарная степень рёбер будет \(3n\).
• Снова используем формулу для рёбер: \[ 2E = 3n \]

Чтобы получить 100 дорог, должно выполняться следующее: \[ 100 = E \] \[ 2E = 3n \Longrightarrow 200 = 3n \Longrightarrow n = \frac{200}{3} \]

Поскольку \(n\) должно быть целым числом, \(200\) не делится на \(3\).

Ответ: Нет, в таком случае 100 дорог с 3 выходящими из каждого города быть не может.

5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга, у 11 - 4 друга, а у 10 - 5 друзей?

Мы можем использовать метод, основанный на подсчете количества "дружеских" связей, чтобы решить эту задачу. Дружба взаимная, поэтому каждая дружба считается для обоих друзей.

Считаем количество "дружеских" связей:

• У группы из 9 человек: \(9 \times 3 = 27\)
• У группы из 11 человек: \(11 \times 4 = 44\)
• У группы из 10 человек: \(10 \times 5 = 50\)

Итого: \[ 27 + 44 + 50 = 121 \]

Каждая связь учитывается дважды, поэтому общее количество уникальных дружеских связей: \[ \frac{121}{2} = 60.5 \]

Так как количество дружеских связей должно быть целым, то такой вариант невозможен.

Ответ: Нет, такое распределение дружбы невозможно.