Чтобы решить задачу, давайте обозначим:
- ( x ) — масса кислоты в первом сосуде (в килограммах).
- ( y ) — масса кислоты во втором сосуде (в килограммах).
Из условия задачи мы знаем следующее:
В первом сосуде 60 кг раствора кислоты, а во втором — 20 кг. Следовательно, можно выразить концентрацию:
- Концентрация в первом сосуде: (\frac{x}{60})
- Концентрация во втором сосуде: (\frac{y}{20})
При смешивании полных объёмов двух растворов получается раствор с концентрацией 76%. У него общий вес 80 кг (60 кг + 20 кг), и соответственно:
[
\frac{x + y}{80} = 0.76
]
Умножим обе стороны на 80:
[
x + y = 0.76 \times 80 = 60.8 \quad \text{(1)}
]
Когда смешиваются равные массы растворов (по 20 кг из каждого сосуда), у нас получается раствор с концентрацией 82%. Его общая масса составит 40 кг (20 кг + 20 кг), и:
[
\frac{\frac{x}{60} \cdot 20 + \frac{y}{20} \cdot 20}{40} = 0.82
]
Упростим это уравнение:
[
\frac{x \cdot \frac{20}{60} + y \cdot 1}{40} = 0.82
]
Умножим обе стороны на 40:
[
\frac{x \cdot \frac{20}{60} + y}{1} = 32.8 \quad \text{(2)}
]
Теперь переведём ( \frac{20}{60} ) в более упрощённую форму:
[
\frac{20}{60} = \frac{1}{3}
]
Тогда уравнение (2) можно записать как:
[
\frac{1}{3}x + y = 32.8 \quad \text{(3)}
]
Теперь у нас есть две системы из уравнений (1) и (3):
[
x + y = 60.8 \quad \text{(1)}
]
[
\frac{1}{3}x + y = 32.8 \quad \text{(3)}
]
Теперь решим систему. Из уравнения (1) выразим ( y ):
[
y = 60.8 - x \quad \text{(4)}
]
Подставим ( y ) из (4) в (3):
[
\frac{1}{3}x + (60.8 - x) = 32.8
]
Упростим:
[
\frac{1}{3}x + 60.8 - x = 32.8
]
Переносим все переменные с ( x ) в одну сторону и фиксированные числа в другую:
[
\frac{1}{3}x - x = 32.8 - 60.8
]
Это можно записать как:
[
-\frac{2}{3}x = -28 \implies x = 42
]
Теперь, подставив ( x = 42 ) в уравнение (4), можем найти ( y ):
[
y = 60.8 - 42 = 18.8
]
Таким образом, количество кислоты в первом сосуде составляет ( x = 42 ) кг.
Ответ:
42 кг кислоты содержится в первом сосуде.
