Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76 % кислоты. Если…
Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 76 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 82% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Ответ залишите в виде целого числа или в виде десятичной дроби.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим:
- \( x \) — масса кислоты в первом сосуде (в килограммах).
- \( y \) — масса кислоты во втором сосуде (в килограммах).
Из условия задачи мы знаем следующее:
В первом сосуде 60 кг раствора кислоты, а во втором — 20 кг. Следовательно, можно выразить концентрацию:
- Концентрация в первом сосуде: \(\frac{x}{60}\)
- Концентрация во втором сосуде: \(\frac{y}{20}\)
При смешивании полных объёмов двух растворов получается раствор с концентрацией 76%. У него общий вес 80 кг (60 кг + 20 кг), и соответственно: \[ \frac{x + y}{80} = 0.76 \] Умножим обе стороны на 80: \[ x + y = 0.76 \times 80 = 60.8 \quad \text{(1)} \]
Когда смешиваются равные массы растворов (по 20 кг из каждого сосуда), у нас получается раствор с концентрацией 82%. Его общая масса составит 40 кг (20 кг + 20 кг), и: \[ \frac{\frac{x}{60} \cdot 20 + \frac{y}{20} \cdot 20}{40} = 0.82 \]
Упростим это уравнение: \[ \frac{x \cdot \frac{20}{60} + y \cdot 1}{40} = 0.82 \] Умножим обе стороны на 40: \[ \frac{x \cdot \frac{20}{60} + y}{1} = 32.8 \quad \text{(2)} \]
Теперь переведём \( \frac{20}{60} \) в более упрощённую форму: \[ \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \] Тогда уравнение (2) можно записать как: \[ \frac{1}{3}x + y = 32.8 \quad \text{(3)} \]
Теперь у нас есть две системы из уравнений (1) и (3): \[ x + y = 60.8 \quad \text{(1)} \] \[ \frac{1}{3}x + y = 32.8 \quad \text{(3)} \]
Теперь решим систему. Из уравнения (1) выразим \( y \): \[ y = 60.8 - x \quad \text{(4)} \]
Подставим \( y \) из (4) в (3): \[ \frac{1}{3}x + (60.8 - x) = 32.8 \] Упростим: \[ \frac{1}{3}x + 60.8 - x = 32.8 \] Переносим все переменные с \( x \) в одну сторону и фиксированные числа в другую: \[ \frac{1}{3}x - x = 32.8 - 60.8 \] Это можно записать как: \[ -\frac{2}{3}x = -28 \implies x = 42 \]
Теперь, подставив \( x = 42 \) в уравнение (4), можем найти \( y \): \[ y = 60.8 - 42 = 18.8 \]
Таким образом, количество кислоты в первом сосуде составляет \( x = 42 \) кг.
Ответ: 42 кг кислоты содержится в первом сосуде.
